3.1. Реализация переключательных функций в универсальном базисе Шеффера
В качестве первого такого базиса рассмотрим универсальный базис В={/} – “Штрих Шеффера” (отрицание конъюнкции):
.
Для перехода к логической схеме введем оператор S(x1 x2) = x1/x2, которому соответствует универсальный элемент Шеффера ( рис. 3.1 ):
Рис. 3.1.
Рассмотрим свойства операции "/".
1.
Операция не идемпотентна, так как х/х
=
= `x.
2. Операция коммутативна, так как
х1/х2
=
=
= x2
/
x1.
3.Операция не ассоциативна, так как
x1/(x2/x3) ¹ (x1/x2)/x3.
Выразим теперь функции базиса { Ù, Ú ,` } через функцию " / ".
Инверсия:`x
=
= x/x
=
= x/1.
Условимся в дальнейшем использовать
второй из рассмотренных способов
инвертирования, заменяя все неиспользуемые
аргументы константой 1.
Перейдем теперь к операторному представлению и построим соответствующие фрагменты логических схем для исходного базиса и базиса Шеффера ( рис. 3.2 ):
=x/1
= S (x,1),
Рис. 3.2
Конъюнкция:
x1
x2
=
=
= (x1
/
x2)/
1
Перейдем теперь к операторному представлению и построим соответствующие фрагменты логических схем для исходного базиса и базиса Шеффера (рис. 3.3):
x1 x2 = (x1 / x2)/ 1=S (S(x1,x2), 1) = S2 (x1,x2)
Рис. 3.3
ПРИМЕЧАНИЕ: S3 (x1, x2) = S (S2 (x1, x2),1) = S (x1, x2).
Аналогично можно определить оператор произвольной степени:
ì x1x2 для четных k,,
S k (x1, x2) = S (S k-1(x1, x2)) = í
î x1/x2 = S (x1, x2) для нечетных k.
Дизъюнкция:
x1
x2
=
=
=
=
(x1/1)/(x2/1)
Перейдем теперь к операторному представлению и построим соответствующие фрагменты логических схем для исходного базиса и базиса Шеффера (рис. 3.4)
x1
x2
=
(x1/1)/(x2/1)
= S
(S(x
,1),S
(x2,1))
Рис. 3.4
По аналогии с операциями конъюнкции и дизъюнкции можно рассматривать как обобщение двуместной операции "/" многоместную операцию "Штрих Шеффера" и многоместный оператор Шеффера:
x1/x2/..../xt
=
=
S
(x1,
x2,...,
xt),
где t
–
местность оператора и соответственно
число входов многовходового универсального
логического элемента Шеффера. Следует,
однако, соблюдать осторожность при
попытке представить многоместную
операцию "Штрих Шеффера" в виде
суперпозиции операций Шеффера меньшей
местности. Следует помнить, что операция
"/" не ассоциативна, поэтому,
например, не справедливы равенства:
x1/x2/x3 = x1/(x2/x3) =(x1/x2)/x3.
Эквивалентное преобразование имеет вид:
x1/x2/x3
=
=
=
=
((x1/x2)/1)/x3.
В операторной форме это преобразование имеет вид:
S (x1, x2, x3) = S (S 2 (x1, x2), x3) = S (x1, S 2 (x2, x3)) и может быть проиллюстрировано фрагментами логических схем (рис. 3.5):
Рис. 3.5
Рассмотрим два способа построения формул над базисом {/}, перехода к операторному представлению и построению логических схем.
Примем два допущения:
- исходной формулой является произвольная формула над базисом
{&, ,` };
- местность оператора Шеффера и соответственно число входов универсального логического элемента Шеффера фиксированы (t = const);
- допускаются инверсии элементарных переменных.
Способ 1.
ШАГ 1. Произвольную формулу с помощью эквивалентных преобразований по законам булевой алгебры вначале привести к ДНФ. Затем к ДНФ применить закон двойного отрицания и закон де Моргана для перехода в базис Шеффера:
f
(x1,...,xn)
= k1
...
k
m
=
=
.
Шаг
2. Если
какие-либо операции Шеффера
(отрицание
конъюнкции) в полученной записи имеют
местность больше t
,
необходимо выразить их через операции
местности t.
Операции с местностью меньше t
следует привести к необходимой местности,
заменяя отсутствующие переменные
константой 1.
Шаг 3. Заменить каждую операцию Шеффера местностью t соответствующим оператором Шеффера, построить логическую схему.
ПРИМЕЧАНИЕ:
вырожденной (однобуквенной) конъюнкции
вида x
в
ДНФ в новой формуле соответствует
вырожденная (однобуквенная) операция
Шеффера вида x
.
Пример 3.1. Пусть исходной является формула в ДНФ.
y =`x1 x2 x3`x 4 x1` x2 `x3 , и t = 3
y=
=
=
=
=
=
=S (S (S2 (`x1, x2, x3),`x4, 1), S (x1,`x2, 1), x3).
По операторному представлению легко построить логическую схему (рис 3.6).
Рис. 3.6
Способ 2. Произвольная формула над базисом {Ù, ,` ) приводится к новому виду последовательной заменой операций исходного базиса эквивалентными подформулами в новом базисе в операторной форме. После этого понижаются степени операторов 3 и выше.
ПРИМЕЧАНИЕ: Вначале следует использовать операторы Шеффера произвольной местности, а затем привести их к необходимому значению t.
Пример 3.2. Пусть исходной является формула в ДНФ,
y = `x1 x2 x3`x4 Ú x1`x2 Ú`x3 , и t = 3
y = S2 (`x1, x2 , x3,`x4) Ú S2 (x1,`x2) Ú`x3 = S (S3 (`x1, x2, x3,`x4), S3 (x1,`x2), x3) =
= S (S (`x1, x2, x3,`x4), S (x1,`x2), x3) = S (S (S2 (`x1, x2, x3),`x4 ,1), S (x1,`x2 ,1), x3).
Соответствующая логическая схема аналогична приведенной на рис. 3.6.