3.2. Реализация переключательных функций в универсальном базисе Пирса
В
качестве второго универсального базиса
рассмотрим базис { ¯
} - "Стрелка Пирса" (отрицание
дизъюнкции): x1
¯
x2
=
.
Для перехода к логической схеме введем оператор Р(x1,x2)= x1 ¯ x2 , которому соответствует универсальный элемент Пирса (рис. 3.7):
Рис. 3.7
Рассмотрим свойства операции "¯".
1.Операция
не идемпотентна, так как х¯х
=
=`x.
2. Операция коммутативна, так как
х1¯х2
=
=
= x2¯x1.
3. Операция не ассоциативна, так как
x1¯(x2¯x3) ¹ (x1¯x2) ¯x3.
Полученные в результате преобразований формулы не эквивалентны, что доказывает не ассоциативность операции "Стрелка Пирса".
Выразим теперь функции базиса {Ù, ,` } через функцию "¯".
Инверсия:`x
=
= x¯x
=
= x¯0.
В дальнейшем будем использовать второй
из рассмотренных способов инвертирования,
заменяя все неиспользуемые аргументы
константой 0.
Перейдем теперь к операторному представлению и построим соответствующие фрагменты логических схем для исходного базиса и базиса Пирса (рис. 3.8).
`x = x¯0 =P(x,0)
Рис. 3.8
Дизъюнкция:
x1
x2
=
=
=
(x1¯x2)¯0
Перейдем теперь к операторному представлению и построим соответствующие фрагменты логических схем для исходного базиса и базиса Пирса (рис. 3.9 ):
x1 x2 = (x1¯x2) ¯ 0= P (P (x1, x2), 0) = P 2 (x1, x2).
Рис. 3.9
ПРИМЕЧАНИЕ: P 3 (x1, x2) = P (P 2 (x1, x2), 0) = P (x1, x2).
Аналогично можно определить оператор произвольной степени:
ì x1 x2 для четных k,
P k (x1,x2) = P(P k-1 (x1,x2), 0) = í
î (x1¯x2) = P(x1,x2) для нечетных k.
Конъюнкция:
x1x2
=
=
= (x1¯0)¯(x2¯0)
Перейдем теперь к операторному представлению и построим соответствующие фрагменты логических схем для исходного базиса и базиса Пирса (рис. 3.10 ).
x1Ùx2 = (x1¯ 0 )¯(x2¯ 0 ) = P (P (x1, 0 ), P (x2,0)).
Рис. 3.10
По
аналогии с операциями Ù
и Ú
можно рассматривать как обобщение
двуместной операции "¯"
многоместную операцию "Стрелка Пирса"
и многоместный оператор Пирса:
x1¯x2¯...¯x
=
=
P
(x1,
x2,...,
x
),
где t
–
местность оператора и соответственно
число входов многовходового универсального
логического элемента Пирса.
Следует, однако, соблюдать осторожность при попытке представить многоместную операцию "Стрелка Пирса" в виде суперпозиции операций Пирса меньшей местности. Следует помнить, что операция "¯" не ассоциативна, поэтому, например, не справедливы равенства:
x1¯x2¯x3 = x1¯(x2¯x3) = (x1¯x2)¯x3
Эквивалентное преобразование имеет вид:
x1¯x2¯x3
=
=
=
=
((x1¯x2)¯0)¯x3.
В операторной форме это имеет вид: P(x1, x2, x3) = P(P2(x1, x2), x3) = =P(x1,P2(x2, x3)) и может быть проиллюстрировано фрагментами логических схем (рис. 3.11):
Рис. 3.11
Рассмотрим два способа построения формул над базисом {¯}, перехода к операторному представлению и построению логических схем.
Примем допущения:
– исходной формулой является произвольная формула над базисом
{ Ù,
Ú,
};
– местность оператора Пирса и соответственно число входов универсального логического элемента Пирса фиксирована (t =const);
– допускаются инверсии элементарных переменных.
Способ 1.
Шаг 1. Произвольная формула с помощью эквивалентных преобразований по законам булевой алгебры вначале приводится к КНФ. Затем к КНФ применяется закон двойного отрицания и закон де Моргана для перехода в базис Пирса:
f
(x1,...,xn)
= d1Ù...Ùdm
=
=
Шаг
2. Если какие – либо операции Пирса
(отрицание
дизъюнкции) в полученной записи имеют
местность больше t
,
необходимо выразить их через операции
местности t.
Операции с местностью меньше t
следует
привести к необходимой местности,
заменяя отсутствующие переменные
константой 0.
Шаг 3. Заменить каждую операцию Пирса местностью t соответствующим оператором Пирса, построить логическую схему.
ПРИМЕЧАНИЕ:
вырожденной
(однобуквенной) дизъюнкции вида xi
в КНФ в новой формуле соответствует
вырожденная (однобуквенная) операция
Пирса вида xi
.
Пример 3.3. Пусть исходной является формула в КНФ.
y = (`x1 x2 x3 4) × (x1 `x2) ×`x3 и t = 3
y=
=
=
=P
(P
(P
(`x1,
x2,
x3,),`x4,
0),
P
(x1,`x2,
0),
x3).
По операторному представлению легко построить логическую схему
(рис. 3.12).
Способ 2. Произвольная формула над базисом {Ù, Ú,` } приводится к новому виду последовательной заменой операций исходного базиса эквивалентными подформулами в новом базисе в операторной форме. После этого понижаются степени операторов степени 3 и выше.
Рис. 3.12
ПРИМЕЧАНИЕ: Вначале следует использовать операторы Пирса произвольной местности, а затем привести их к необходимому значению t.
Пример 3.4. Пусть исходной является формула в КНФ
y
= (`x1
x
x3
`x4)
×
(x1
`x2)
×`x3
и
t
= 3.
y = P 2(`x1, x ,x3,`x4) × P 2(x1,`x2) ×`x3 = P (P 3(`x1, x , x3,`x4), P3(x1,` x2) , x3) =
= P (P(`x1, x ,x3,`x4), P(x1,`x2), x3)=P (P (P2 (`x1, x ,x3 ),`x4, 0), P(x1,`x2, 0), x3 ).
Соответствующая логическая схема аналогична приведенной на рис. 3.12 .
В
заключение заметим, что замена в исходной
формуле над базисом {/} или {¯},
символов операций /(¯)
на ¯(/)
либо операторов
на операторы
соответственно,
переменных
на их инверсии и констант 1(0) на 0(1), дает
формулу над базисом {¯}
или ({/}) для инверсной функции.
Приложения