3.2. Реализация переключательных функций в универсальном базисе Пирса

В качестве второго универсального базиса рассмотрим базис { } - "Стрелка Пирса" (отрицание дизъюнкции): x₁ x₂ = .

Для перехода к логической схеме введем оператор Р(x₁,x₂)= x₁ x₂ , которому соответствует универсальный элемент Пирса (рис. 3.7):

Рис. 3.7

Рассмотрим свойства операции "".

1.Операция не идемпотентна, так как хх = =x.

2. Операция коммутативна, так как

х₁х₂ = ==x₂x₁.

3. Операция не ассоциативна, так как

x₁(x₂x₃) (x₁x₂) x_3.

Полученные в результате преобразований формулы не эквивалентны, что доказывает не ассоциативность операции "Стрелка Пирса".

Выразим теперь функции базиса {, , } через функцию "".

Инверсия:x = =xx = =x0. В дальнейшем будем использовать второй из рассмотренных способов инвертирования, заменяя все неиспользуемые аргументы константой 0.

Перейдем теперь к операторному представлению и построим соответствующие фрагменты логических схем для исходного базиса и базиса Пирса (рис. 3.8).

x = x0 =P(x,0)

Рис. 3.8

Дизъюнкция: x₁x₂ = == (x₁x₂)0

Перейдем теперь к операторному представлению и построим соответствующие фрагменты логических схем для исходного базиса и базиса Пирса (рис. 3.9 ):

x₁ x₂ = (x₁x₂) 0= P (P (x₁, x₂), 0) = P ² (x₁, x₂).

Рис. 3.9

ПРИМЕЧАНИЕ: P ³ (x₁, x₂) = P (P ² (x₁, x₂), 0) = P (x₁, x₂).

Аналогично можно определить оператор произвольной степени:

x₁x₂ для четных k,

P ^k (x₁,x₂) = P(P ^k-1 (x₁,x₂), 0) =

(x₁x₂) = P(x₁,x₂) для нечетных k.

Конъюнкция: x₁x₂ = == (x₁0)(x₂0)

Перейдем теперь к операторному представлению и построим соответствующие фрагменты логических схем для исходного базиса и базиса Пирса (рис. 3.10 ).

x₁x₂ = (x₁ 0 )(x₂ 0 ) = P (P (x₁, 0 ), P (x₂,0)).

Рис. 3.10

По аналогии с операциями и можно рассматривать как обобщение двуместной операции "" многоместную операцию "Стрелка Пирса" и многоместный оператор Пирса: x₁x₂...x= =P (x₁, x₂,..., x), где t – местность оператора и соответственно число входов многовходового универсального логического элемента Пирса.

Следует, однако, соблюдать осторожность при попытке представить многоместную операцию "Стрелка Пирса" в виде суперпозиции операций Пирса меньшей местности. Следует помнить, что операция "" не ассоциативна, поэтому, например, не справедливы равенства:

x₁x₂x₃ = x₁(x₂x₃) = (x₁x₂)x₃

Эквивалентное преобразование имеет вид:

x₁x₂x₃ = === ((x₁x₂)0)x₃.

В операторной форме это имеет вид: P(x₁, x₂, x₃) = P(P²(x₁, x₂), x₃) = =P(x₁,P²(x₂, x₃)) и может быть проиллюстрировано фрагментами логических схем (рис. 3.11):

Рис. 3.11

Рассмотрим два способа построения формул над базисом {}, перехода к операторному представлению и построению логических схем.

Примем допущения:

– исходной формулой является произвольная формула над базисом

{ , , };

– местность оператора Пирса и соответственно число входов универсального логического элемента Пирса фиксирована (t =const);

– допускаются инверсии элементарных переменных.

Способ 1.

Шаг 1. Произвольная формула с помощью эквивалентных преобразований по законам булевой алгебры вначале приводится к КНФ. Затем к КНФ применяется закон двойного отрицания и закон де Моргана для перехода в базис Пирса:

f (x₁,...,x_n) = d₁...d_m = =

Шаг 2. Если какие – либо операции Пирса (отрицание дизъюнкции) в полученной записи имеют местность больше t , необходимо выразить их через операции местности t. Операции с местностью меньше t следует привести к необходимой местности, заменяя отсутствующие переменные константой 0.

Шаг 3. Заменить каждую операцию Пирса местностью t соответствующим оператором Пирса, построить логическую схему.

ПРИМЕЧАНИЕ: вырожденной (однобуквенной) дизъюнкции вида x_i в КНФ в новой формуле соответствует вырожденная (однобуквенная) операция Пирса вида x_i.

Пример 3.3. Пусть исходной является формула в КНФ.

y = (x₁ x₂ x_{3 4}) (x₁ x₂) x₃ и t = 3

y==

=

=P (P (P (x₁, x_2, x₃,),x_4, 0), P (x₁,x_2, 0), x₃).

По операторному представлению легко построить логическую схему

(рис. 3.12).

Способ 2. Произвольная формула над базисом {, , } приводится к новому виду последовательной заменой операций исходного базиса эквивалентными подформулами в новом базисе в операторной форме. После этого понижаются степени операторов степени 3 и выше.

Рис. 3.12

ПРИМЕЧАНИЕ: Вначале следует использовать операторы Пирса произвольной местности, а затем привести их к необходимому значению t.

Пример 3.4. Пусть исходной является формула в КНФ

y = (x₁ xx₃ x₄) (x₁ x₂) x₃ и t = 3.

y = P ²(x₁, x,x₃,x₄) P ²(x₁,x₂) x₃ = P (P ³(x₁, x, x₃,x₄), P³(x₁, x₂) , x₃) =

= P (P(x₁, x,x₃,x₄), P(x₁,x₂), x₃)=P (P (P² (x₁, x,x₃ ),x_4, 0), P(x₁,x_2, 0), x₃ ).

Соответствующая логическая схема аналогична приведенной на рис. 3.12 .

В заключение заметим, что замена в исходной формуле над базисом {/} или {}, символов операций /() на (/) либо операторов на операторысоответственно, переменныхна их инверсии и констант 1(0) на 0(1), дает формулу над базисом {} или ({/}) для инверсной функции.

Приложения