3.2. Приклади та завдання для самостійної роботи

У наведених далі задачах записати двоїсту задачу до поставленої задачі лінійного програмування. Розв’язати одну із задач симплекс-методом і визначити оптимальний план іншої задачі.

Z = –30x₁ + 10x₂  mах;

3.1

Z = 4x₁ + 3x₂ + x₃  min;

3.2

Z = 3x₁ + 2x₂ + 5x₃  max;

3.3

Z = –3x₁ – 4x₂ – 5x₃  min;

3.4

Z = 2x₁ + 3x₂  max;

3.5

Z = 5x₁ + 2x₂  min;

3.6

Z = 5x₁ + 12x₂ – 4x₃  max;

3.7

Z = –x₁ + x₂  min;

3.8

Z = 5x₁ + 6x₂  max;

3.9

Z = 2x₁ – 2x₂ + 4x₃  min;

3.10

Z = 3x₁ + 6x₂ + 2x₃  max;

3.11

Z = x₁ + 2x₂ – 3x₃  min;

3.12

Z = x₁ + x₂  max;

3.13

Z = 10x₁ + 40x₂  min;

3.14

Z = x₁ + 2x₂  max;

3.15

Z = x₁ + 2x₂ + 5x₃  min;

3.16

Z = x₁ + 5x₂ + 3x₃  max;

3.17

У наведених нижче задачах до поставленої задачі лінійного програмування записати двоїсту і розв’язати її графічно. Визначити оптимальний план прямої задачі, застосовуючи другу теорему двоїстості.

Z = 2x₁ + 4x₂ + 24x₃ + 6x₄  min;

3.18

Z = 8x₁ + 2x₂ + x₃ + x₄  max;

3.19

Z = 2x₁ + x₂ + 3x₃  min;

3.20

Z = 9x₁ + 8x₂ + 10x₃  max;

3.21

Z = –x₁ + 8x₂ + 20x₃ + 6x₄  min;

3.22

Z = –x₁ + x₂ + x₃  max;

3.23

Z = 8x₁ + 8x₂ + x₃  min;

3.24

Z = x₁ + 4x₂ + x₃  max;

3.25

Z = 14x₁ + 15x₂ – 24x₃  min;

3.26

Z = x₁ + 8x₂ + 10x₃  max;

3.27

У наведених задачах визначити, чи є для сформульованої задачі лінійного програмування оптимальними запропоновані плани.

Z = 5x₁ + 12x₂ + 4x₃  max;

3.28

а) х = (0; 4; 2); б) х = (14/5; 18/5; 0); в) х = (5/3; 7/3; 1/3).

Z = 4x₁ + 3x₂ + 5x₃  max;

3.29

а) х = (2; 3; 0); б) х = (3; 0; 1); в) х = (0; 1; 2).

Z = 2x₁ + 3x₂  min;

3.30

а) х = (10; 10/3); б) х = (20; 10); в) х = (10/3; 10/3).

Z = 8x₁ – 20x₂ + 6x₃  max;

3.31

а) х = (1; 1/3; 1); б) х = (2; 1; 0); в) х = (1/8; 0; 13/8).

Z = x₁ + 10x₂ + 6x₃ + x₄  min;

3.32

а) х = (16; 3; 0; 0); б) х = (4; 0; 0; 15); в) х = (0; 0; 4; 3).

3.2. Контрольні запитання до тем 1-3

1. Запишіть загальну математичну модель лінійного програмування.

2. Як звести задачу лінійного програмування до канонічної форми?

3. Які є форми запису задач лінійного програмування?

4. Дайте геометричну інтерпретацію задачі лінійного програ­му­вання.

5. Який розв’язок задачі лінійного програмування називається допустимим?

6. Поясніть, яка область називається областю допустимих планів.

7. Який план називається опорним?

8. Який опорний план називається невиродженим?

9. Сформулюйте основні аналітичні властивості розв’язків задачі лінійного програмування.

10. Які задачі можна розв’язувати графічним методом?

11. За яких умов задача лінійного програмування з необмеженою областю допустимих планів має розв’язок?

12. Суть алгоритму графічного методу.

13. Для розв’язування яких математичних задач застосовується симплексний метод?

14. Суть алгоритму симплексного методу.

15. Сформулюйте умови оптимальності розв’язку задачі симплексним методом.

16. Як вибрати напрямний вектор-стовпець?

17. Як вибрати розв’язувальний елемент?

18. Суть методу Жордана—Гаусса.

19.  Суть методу штучного базису.

20. У чому сутність двоїстості у лінійному програмуванні?

21. Розробіть просту економіко-математичну модель. Запишіть до неї двоїсту. Дайте економічну інтерпретацію двоїстих оцінок.

22. Які взаємоспряжені задачі називаються симетричними, а які — несиметричними? Чим вони відрізняються?

23. Скільки змінних та обмежень має двоїста задача відповідно до прямої?

24. Сформулюйте першу теорему двоїстості та дайте її економічне тлумачення.

25. Сформулюйте другу теорему двоїстості та дайте її економічне тлумачення.

26. Сформулюйте третю теорему двоїстості та дайте її економічне тлумачення.

27. Сформулюйте правила побудови двоїстих задач.

28. Як за розв’язком прямої задачі знайти розв’язок двоїстої?

29. Запишіть всі можливі види прямих і двоїстих задач.