5.6. Контрольні запитання до тем 4-5

1. Дайте економічну інтерпретацію прямої та двоїстої задач.

2. Як визначити, що ресурс є дефіцитним (недефіцитним)?

3. Як визначити, що продукція є рентабельна (нерентабельна)?

4. Як впливає на оптимальний план введення додаткового обмеження?

5. Як впливає на оптимальний план введення нової змінної?

6. Як визначити статус ресурсів прямої задачі та інтервали стійкості двоїстих оцінок відносно зміни запасів дефіцитних ресурсів?

7. Як визначити план виробництва продукції та зміну доходу підприємства, якщо збільшити (зменшити) обсяг ресурсів?

8. Як визначити рентабельність кожного виду продукції, що виготовляється на підприємстві?

9.  Як розрахувати інтервали можливої зміни ціни на одиницю кожного виду продукції?

10. Як виробник має змінити план виробництва продукції, щоб уникнути втрат, пов’язаних із надвиробництвом відповідного виду продукції?

11. Дайте економічну і математичну постановку транспортної задачі.

12. Чим відрізняється транспортна задача від загальної задачі лінійного програмування?

13. Сформулюйте необхідну і достатню умову існування розв’язку транспортної задачі.

14. Властивості опорних планів транспортної задачі.

15. Чим відрізняється відкрита транспортна задача від закритої?

16. Як перетворити відкриту транспортну задачу на закриту?

17. Які ви знаєте методи побудови опорного плану?

8. Побудуйте невироджений опорний план методами північно-західного кута, мінімального елемента і подвійної переваги для такої транспортної задачі:

a_i = 50, 70, 90; b_j = 70, 65, 70, 75.

Порівняйте ці плани.

8. Що означає «виродження» опорного плану? Як його позбутися?

9. Назвіть етапи розв’язування методом потенціалів.

10. Як обчислюють потенціали?

11. Умова оптимальності транспортної задачі.

12. Дайте економічну і математичну постановку двохетапної транспортної задачі.

13. Назвіть особливості розв’язування транспортних задач з обмеженнями виду .

5.7. Теми рефератів до тем 4-5

1. Оптимізація виробництва продукції за умови ненадійності постачальників ресурсів

.2. Оптимізація виробництва продукції за умови нестабільності ринку.

3. Оптимізація виробництва продукції за умов нестабільної (перехідної) економіки.

4. Двоїсті оцінки та їх використання в економічних дослідженнях.

2. 5. Обґрунтовування рівня цін на готову продукцію на базі двоїстих оцінок. Двохетапна транспортна задача та її використання на практиці.

3. Транспортна задача за критерієм часу.

4. Оптимізація транспортування неоднорідних вантажів.

5. Оптимізація транспортування однорідних вантажів різними транспортними засобами.

6. Оптимізація транспортування неоднорідних вантажів різними транспортними засобами.

7. Оптимальне розподілення робітників на різні роботи.

8. Оптимальне закріплення за верстатами операцій по обробці деталей.

9. Задачі розміщення виробництва з урахуванням транспортних і виробничих витрат.

10. Підвищення продуктивності автомобільного транспорту за рахунок мінімізації порожнього пробігу.

6. Цілочисельне програмування

6.1 Приклади розв’язування навчальнихзавдань

Приклад 6.1.

Сільськогосподарське підприємство задумало ство­рити сушильний цех на виробничій площі 190 м², маючи для цього 100 тис. грн. і можливість придбати устаткування двох типів А і В. Техніко-економічну інформацію про ці два види устаткування подано в таблиці:

Техніко-економічний показник	Устаткування		Ресурс
	А	В
Вартість, тис. грн.	25	10	100
Необхідна виробнича площа, м2	40	20	190
Потужність, тис. грн./рік	350	150	—

Розв’язування. Нехай х₁ і х₂ — кількість комплектів устаткування відповідно типу А і В.

Запишемо економіко-математичну модель:

,

,

,

і — цілі.

Розв’язуємо задачу, нехтуючи умовою цілочисловості. Остання симплексна таблиця набере вигляду:

Хбаз	Сбаз	План	350	150	0	0
			х1	х2	х3	х4
х1	350	1	1	0
х2	150		0	1
		1475	0	0	10

Значення другої змінної є дробовим числом, що не задовольняє початкові умови задачі. Побудуємо для другого рядка наведеної симплексної таблиці додаткове обмеження виду :

.

Оскільки , , , то додаткове обмеження набирає вигляду

.

Зведемо його до канонічної форми та введемо штучну змінну:

.

Приєднавши здобуте обмеження до останньої симплексної таблиці з умовно-оптимальним планом, дістанемо:

Хбаз	Сбаз	План	350	150	0	0	0	–М
			х1	х2	х3	х4	х5	х6
х1	350	1	1	0			0	0
х2	150		0	1			0	0
х6	–М		0	0			–1	1
		1475	0	0	10		0	0
			0	0			М	0

Розв’язуючи наведену задачу, остаточно знаходимо цілочисловий оптимальний план: , .

Приклад 6.2.

Задача лінійного розкрою. У цеху розрізують пру­ти завдовжки 6 м на заготівки 1,4; 2 і 2,5 м. Усього в цеху мають 200 прутів. Потрібно дістати не менше як 40, 60 і 50 заготівок завдовжки відповідно 1,4; 2 і 2,5 м.

Побудувати загальну і числову модель лінійного розкрою. За критерій оптимізації є сенс узяти мінімум відходів.

Розв’язування. Нехай — вид заготівки. Кожний прут можна розрізати різними способами.

Скористаємося такими позначеннями:

— вихід заготовок і-го виду в разі розрізування прута j-м способом;

c_j — відходи в разі розрізування прута j-м способом;

А — кількість наявних прутів;

B_i, D_i — відповідно нижня і верхня межі потреби в і-й заготівці;

x_j — кількість прутів, які розрізані за j-м варіантом.

Запишемо загальну економіко-математичну модель лінійного розкрою.

Критерій оптимальності:

за умов

,

,

,

— цілі .

Побудуємо числову економіко-математичну модель розрізування прутів, розглянувши можливі варіанти такого розрізування:

Довжина заготівки, м	Варіанти розрізування прутів
1,4	4	—	—	1	1	2	2
2	—	3	—	1	2	1	—
2,5	—	—	2	1	—	1	1
Довжина відходів, м	0,4	0	1	0,1	0,6	1,2	0,7

Бажано, щоб у множину ввійшли всі можливі варіанти, навіть такі, які на перший погляд здаються неефективними, наприклад x₆.

Запишемо числову економіко-математичну модель розрізування прутів:

за умов

а) щодо кількості заготівок завдовжки 1,4 м:

;

2 м:

;

2,5 м:

;

б) щодо кількості наявних прутів:

;

в) щодо невід’ємності змінних:

;

г) щодо цілочисловості змінних:

— цілі числа.

Приклад 6.3.

Задача комівояжера. В економічному регіоні розміщено 6 пунктів (міст). Комівояжер, який виїжджає з міста 1, має побувати в кожному місті один раз і повернутися до вихідного пункту. Знайти найкоротший маршрут, якщо відстані між містами відомі (рис. 6.1).

Рис. 6.1

Записати загальну і числову економіко-математичну модель.

Розв’язування. Нехай маємо n пунктів, де має побувати комівояжер.

Позначимо:

Отже, х_ij — бульові (цілочислові) змінні. Цільовою функцією цієї задачі є мінімізація всього маршруту комівояжера:

де с_ij — відстань між містами і та j.

Обмеження щодо одноразового в’їзду в кожне місто:

.

Обмеження щодо одноразового виїзду з кожного міста:

.

Ці обмеження не повністю описують допустимі маршрути і не виключають можливості розриву маршруту. Щоб усунути цей недолік, введемо додаткові змінні u_i(u_j) , які набувають невід’ємних цілих значень. Запишемо обмеження, які виключають можливість існування підмаршрутів:

,

де u_i (u_j) — порядковий номер міста за маршрутом прямування комівояжера.

Запишемо числову економіко-математичну модель комівояжера за розглядуваних умов.

Критерій оптимальності:

;

а) обмеження щодо одноразового в’їзду в кожне місто:

,

,

,

,

,

;

б) обмеження щодо одноразового виїзду з кожного міста:

,

,

,

,

,

;

в) обмеження щодо виключення підмаршрутів:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

;

,

u_i(u_j) — цілі числа .

Такі задачі розв’язуються спеціальними методами [1; 10].

Приклад 6.4.

Фермер планує виробляти три види продукції — озиму пшеницю, цукрові буряки та молоко. Сумарні витрати складаються з двох частин: постійних — k_j, які не залежать від обсягу виробництва, і поточних c_j на виробництво одиниці продукції, де j — номер продукції. Відповідні дані наведено в таблиці:

Показник	Вид продукції
	Озима пшениця, т	Цукровий буряк, т	Молоко, т
Постійні витрати, тис. грн.	40	70	20
Поточні витрати на одиницю продукції, грн.	400	150	500
Норма витрат ріллі, га	0,2	0,02	0,25
Ціна одиниці продукції, грн.	800	300	1000

Визначити оптимальний план виробництва продукції кожного виду, якщо з цією метою використовується 100 га ріллі.

Розв’язування. Нехай x_j — обсяг виробництва j-го виду продукції, . Функція сумарних витрат на виробництво j-ї продукції набуває вигляду:

Як цільову функцію беремо максимізацію валового прибутку:

де y_j — ціна одиниці j-ї продукції.

Обмеження щодо ріллі:

де а_j — норма витрат ріллі на одиницю j-ї продукції; А — ресурс ріллі.

Цільова функція цієї задачі не є лінійною, оскільки має розрив у початку координат. Отже, ця задача не може бути розв’язана симплексним методом.

Щоб розв’язати цю задачу, скористаємося штучним прийомом. Введемо бульові змінні такою умовою:

її можна записати у вигляді лінійної нерівності

,

де М — досить велике число, за якого умова виконується для всіх допустимих обсягів виробництва продукції.

У результаті маємо таку економіко-математичну модель:

за умов

,

,

, .

Запишемо числову економіко-математичну модель. Очевидно, що максимум пшениці становить 500 т, цукрових буряків — 5000 т, молока — 400 т. Отже, М може дорівнювати 5000. Звідси маємо:

за умов

,

,

,

,

.

Пропонуємо розв’язати аналогічну задачу, оцінивши ефективність нового бізнесу.

Звичайно, у реальній ситуації існує більший набір можливих видів продукції, а також багато обмежень щодо ресурсів.

Приклад 6.5.

Задача планування виробничої лінії.. Оптимізувати режим функціонування виробничої лінії, яка охоплює 11 операцій з виготовлення двох виробів. Лінію обладнано одним багатоопераційним верстатом. Послідовність і тривалість (у хвилинах) виконання операцій відбиває рис. 6.2.

Рис. 6.2

Установлено термін виготовлення кожного з виробів А та В як проміжок часу від деякого початкового моменту. Нехай це буде відповідно 120 і 150 хв. Передбачається, що в кожний момент часу на верстаті може виконуватися одна операція.

Визначити оптимальний термін початку кожної операції.

Розв’язування. Розглянемо спочатку задачу в загальному вигляді, скориставшись позначеннями:

a_j(k) — час виконання j-ї операції ; d_j — момент часу (термін) для j-го виробу, до якого необхідно завершити операцію j; х_j — час (термін) початку j-ї операції; t — сумарний час виконання всіх операцій. Економіко-математична модель містить три типи обмежень.

1. Послідовність виконання i-ї операції записується для всіх пар операцій якщо i-та операція передує в часі j-й операції.

2. Обмеження нерозгалуженості виробничого процесу для операцій і та j, які не виконуються одночасно (i ≠ j), має вигляд:

або x_i – х_j ≥ a_j, якщо операція j передує в часі операції і; або x_j – х_i ≥ a_i, якщо операція і передує в часі операції j.

Зауважимо, що логічні обмеження виду «або-або» не можуть входити до економіко-математичної моделі задачі лінійного програмування, оскільки породжують неопуклу множину допустимих розв’язків. Тому необхідно ввести допоміжні змінні, які дозволяють записати наведені щойно логічні умови у вигляді лінійних обмежень. Це такі бульові змінні:

Увівши змінні y_ij, запишемо шукані обмеження:

,

,

де М — досить велике число.

3. Обмеження щодо термінів виготовлення кожного виробу:

,

де j — остання операція для k-го виробу.

4. Усі операції мають бути виконанні до моменту часу t:

.

Критерій оптимальності:

тобто ставиться задача, щоб обидва вироби були виготовлені за мінімальний час.

Запишемо числову економіко-математичну модель:

за наведених далі умов.

1. Послідовність виконання операцій:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

2. Обмеження щодо нерозгалуженості виробничого процесу:

,

,

,

,

,

,

,

.

3. Обмеження щодо термінів виготовлення виробів:

,

.

4. Усі операції мають бути виконані до моменту часу t:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

5. Обмеження на змінні:

, ;

, .

Отже, маємо частково цілочислову задачу з бульовими змінними.

Приклад 6.6.

Задача оптимального призначення. Розподілити чотирьох робітників за чотирма видами устаткування так, щоб їх загальна продуктивність праці була максимальною. Дані стосовно продуктивності праці кожного робітника на устаткуванні кожного виду наведено в таблиці:

Робітник	Продуктивність праці, грн./год, на устаткуванні
	1	2	3	4
1	12	9	8	7
2	10	7	6	5
3	9	6	4	4
4	8	5	3	2

Розв’язування. Дану задачу можна розглядати як транспортну, в якій робітники ототожнюються з постачальниками вантажів, а види устаткування — зі споживачами цих вантажів. Обсяги пропозиції та попиту в кожному випадку дорівнюють одиниці. Отже, змінні будуть бульовими:

Якщо c_ij — продуктивність праці і-го робітника на j-му устаткуванні, то економіко-математичну модель про призначення у загальному вигляді можна записати так:

за умов

,

,

,

.

Числова модель набирає вигляду:

за умов

,

,

,

,

,

,

,

,

,

— цілі числа .

З огляду на особливу структуру цієї задачі, зокрема її «транспортний» характер та рівність правих частин обмежень, для розв’язування можна застосувати ефективніший алгоритм, ніж для звичайної задачі цілочислового програмування з бульовими змінними. Пропонуємо студентам ознайомитися з такими алгоритмами самостійно [9; 38].