- •Глава 1. Исторический обзор и современное состояние теории
- •Глава 2. Теоретические основы развития математических
- •Глава 3. Содержание и технологии развития математических
- •Предисловие
- •Глава 1. Исторический обзор и современное состояние теории и технологии развития математических представлений у детей дошкольного возраста
- •1.1. Истоки методики развития математических представлений у детей дошкольного возраста и этапы ее становления
- •Обзор школьных методов обучения арифметике (XIX — начало XX в.). Влияние их на становление методики развития математических представлений у детей дошкольного возраста
- •Математическое развитие дошкольников средствами «веселой» занимательной математики
- •1.2. Теории и методика математического развития детей дошкольного возраста (20—50-е гг. XX в.) (второй этап развития методики)
- •1.3. Научно обоснованная дидактическая система формирования элементарных математических представлений в 50—60-е гг. XX в. (третий этап развития методики)
- •1.4. Психолого-педагогические исследования 60—70-х гг. XX в. И передовой педагогический опыт в области теории и технологий математического развития детей
- •1.5. Современное состояние теории и технологии математического развития детей дошкольного возраста
- •Математическое развитие дошкольников в условиях вариативности образовательной системы и реализации идей развивающего образования
- •Глава 2. Теоретические основы развития математических представлений у дошкольников
- •2.1. Множества Характеристическое свойство множества
- •Универсальное множество. Дидактический материал
- •Подмножество. Дополнение множества и отрицание предложения
- •Пересечение множеств и конъюнкция предложений
- •Объединение множеств и дизъюнкция предложений
- •Разбиение множества на классы
- •Отношения между двумя множествами
- •2.2. Отношения Бинарные отношения
- •Свойства отношений
- •Отношение эквивалентности
- •Отношение порядка
- •2.3. Числа Возникновение понятия натурального числа
- •Основные идеи количественной теории натуральных чисел
- •Основные идеи порядковой теории натуральных чисел
- •2.4. Геометрические фигуры
- •Виды геометрических фигур
- •2.5. Величины и их измерение
- •Измерение величин
- •2.6. Алгоритмы
- •Глава 3. Содержание и технологии развития математических представлений у детей дошкольного возраста
- •3.1. Общая характеристика содержания математических представлений у детей дошкольного возраста
- •3.2. Способы познания свойств и отношений в дошкольном возрасте
- •Сериация как способ познания размера, количества, чисел
- •Классификация как способ познания свойств и отношений
- •Познание свойств групп и отношений между группами в процессе классификации предметов по признакам
- •Классификация по совместимым свойствам как способ развития предпосылок логико-математического мышления детей старшего дошкольного возраста
- •3.3. Особенности и методика освоения детьми дошкольного возраста формы предметов и геометрических фигур
- •Развитие у детей представлений о форме в процессе игр и упражнений
- •3.4. Особенности и методика освоения детьми дошкольного возраста размеров предметов и величин
- •Последовательность освоения величин в дошкольном возрасте
- •Овладение детьми дошкольного возраста измерением величин
- •1 Центральный круг — содержание познания и обучения. Средний круг — дидактические пособия, материалы, игры. Внешний круг — приемы обучения и оценки ребенком величин.
- •Познание прямых и обратных зависимостей в процессе измерения величин
- •3.5. Особенности и методика развития у детей дошкольного возраста представлений о массе предметов и способах измерения массы
- •3.6. Развитие пространственных представлений в дошкольном возрасте
- •Особенности пространственной ориентировки ребенка дошкольного возраста
- •Методика развития пространственных представлений и умений ориентироваться
- •3.7. Развитие временных представлений у детей дошкольного возраста
- •3.8. Освоение количественных отношений, чисел и цифр детьми дошкольного возраста
- •Особенности познания количественных отношений, чисел и цифр в дошкольном возрасте. Зависимость восприятия численности от пространственно-качественных особенностей множеств
- •Зависимость восприятия численности от пространственно-качественных особенностей множеств
- •Содержание развития у детей количественных и числовых представлений
- •Увеличение и уменьшение чисел. Решение практических задач
- •3.9. Освоение простейших зависимостей и закономерностей в дошкольном возрасте
- •3.9.1. Развитие понимания сохранения количества и величины у детей дошкольного возраста
- •Методика использования творческих задач, вопросов и ситуаций в обучении дошкольников
- •4.2. Моделирование как средство логико-математического развития детей дошкольного возраста
- •Методика развития моделирования у детей дошкольного возраста
- •4.3. Реализация идеи интеграции в логико-математическом развитии дошкольников
- •Логико-математическое и экономическое развитие дошкольников
- •Логико-математическое и речевое развитие дошкольников
- •Логико-математическое и физическое развитие дошкольников
- •Логико-математическое и художественно-эстетическое развитие дошкольников
- •4.4. Развивающая среда как средство развития математических представлений дошкольников
- •4.5. Использование познавательных книг математического содержания и рабочих тетрадей в логико-математическом развитии дошкольников
Отношение порядка
Среди рассмотренных выше примеров отношений имеются такие, как меньше, больше между числами, предшествует, следует за между точками прямой; старше, моложе между людьми. Эти отношения являются антирефлексивными, асимметричными и транзитивными.
Всякое антирефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение в некотором множестве А называется отношением порядка1.
2.3. Числа Возникновение понятия натурального числа
1
Иногда
такое отношение называют отношением
строгого порядка, чтобы отличить его
<уг отношения нестрогого порядка,
являющегося рефлексивным, антисимметричным
и транзитивным.
К построению математических моделей явлений, основанному на отвлечении от всех свойств предметов, кроме их количественных отношений и пространственных форм, человечество прибегало с первых шагов изучения окружающего мира. Одним из первых достижений на этом пути было возникновение и формирование понятия натурального числа. Оно появилось, по-видимому, на довольно позднем этапе развития мышления и предполагало наличие способности к созданию абстрактных понятий и оперированию ими.
Процесс формирования понятия числа был сложным и длительным. На самом раннем этапе устанавливалась равночислен-ность различных множеств, общее же свойство равночисленных множеств еще не отделялось от конкретной природы сравниваемых множеств. Например, знали, что два рыболова поймали поровну рыб, но не выражали этого каким-либо числом. В дальнейшем практика экономических и социальных взаимоотношений привела к необходимости выражать численность одних множеств уже через численность других множеств, т. е. общее свойство равночисленное™ стало осознаваться как нечто отличное от конкретной природы самого множества, его элементов. Однако в качестве эталонов выступали еще различные множества, состоящие из подручных предметов — эквивалентов равночисленности множеств предметов. Еще позже определенное множество, например пальцы на руках и ногах, начали выступать в качестве своеобразного единственного эталона количества, что позволило выделить общее свойство численности, отличное от всех особенных свойств множеств. Впоследствии общее свойство всех равночисленных множеств абстрагировалось от самих множеств и выступило в «чистом виде», т. е. как абстрактное понятие натурального числа. Далее в качестве эталона численности уже выступают сами натуральные числа, когда люди говорят не «рука яблок», а «пять яблок» (интересно, что в слове «пять» сохранилось воспоминание о «пясти», т. е. о ладони). И наконец, происходит отвлечение от реально существующих ограничений счета и возникает понятие о сколь угодно больших числах. Возникает абстракция бесконечного множества натуральных чисел. Объектом научного анализа становятся свойства элементов самого этого множества, в отвлечении от тех предметов, счет которых привел к созданию понятия числа. Возникает теория, описывающая систему чисел с ее свойствами и закономерностями.
Как будет показано дальше, процесс формирования представлений дошкольников о числе в известном смысле в общих чертах повторяет основные этапы исторического развития этого понятия.
В математике известны различные способы построения теории натуральных чисел. Мы рассмотрим лишь основные идеи двух теорий натуральных чисел, количественной и порядковой, находящие отражение в формировании представлений о числе, счете и арифметических операциях.