- •Глава 1. Исторический обзор и современное состояние теории
- •Глава 2. Теоретические основы развития математических
- •Глава 3. Содержание и технологии развития математических
- •Предисловие
- •Глава 1. Исторический обзор и современное состояние теории и технологии развития математических представлений у детей дошкольного возраста
- •1.1. Истоки методики развития математических представлений у детей дошкольного возраста и этапы ее становления
- •Обзор школьных методов обучения арифметике (XIX — начало XX в.). Влияние их на становление методики развития математических представлений у детей дошкольного возраста
- •Математическое развитие дошкольников средствами «веселой» занимательной математики
- •1.2. Теории и методика математического развития детей дошкольного возраста (20—50-е гг. XX в.) (второй этап развития методики)
- •1.3. Научно обоснованная дидактическая система формирования элементарных математических представлений в 50—60-е гг. XX в. (третий этап развития методики)
- •1.4. Психолого-педагогические исследования 60—70-х гг. XX в. И передовой педагогический опыт в области теории и технологий математического развития детей
- •1.5. Современное состояние теории и технологии математического развития детей дошкольного возраста
- •Математическое развитие дошкольников в условиях вариативности образовательной системы и реализации идей развивающего образования
- •Глава 2. Теоретические основы развития математических представлений у дошкольников
- •2.1. Множества Характеристическое свойство множества
- •Универсальное множество. Дидактический материал
- •Подмножество. Дополнение множества и отрицание предложения
- •Пересечение множеств и конъюнкция предложений
- •Объединение множеств и дизъюнкция предложений
- •Разбиение множества на классы
- •Отношения между двумя множествами
- •2.2. Отношения Бинарные отношения
- •Свойства отношений
- •Отношение эквивалентности
- •Отношение порядка
- •2.3. Числа Возникновение понятия натурального числа
- •Основные идеи количественной теории натуральных чисел
- •Основные идеи порядковой теории натуральных чисел
- •2.4. Геометрические фигуры
- •Виды геометрических фигур
- •2.5. Величины и их измерение
- •Измерение величин
- •2.6. Алгоритмы
- •Глава 3. Содержание и технологии развития математических представлений у детей дошкольного возраста
- •3.1. Общая характеристика содержания математических представлений у детей дошкольного возраста
- •3.2. Способы познания свойств и отношений в дошкольном возрасте
- •Сериация как способ познания размера, количества, чисел
- •Классификация как способ познания свойств и отношений
- •Познание свойств групп и отношений между группами в процессе классификации предметов по признакам
- •Классификация по совместимым свойствам как способ развития предпосылок логико-математического мышления детей старшего дошкольного возраста
- •3.3. Особенности и методика освоения детьми дошкольного возраста формы предметов и геометрических фигур
- •Развитие у детей представлений о форме в процессе игр и упражнений
- •3.4. Особенности и методика освоения детьми дошкольного возраста размеров предметов и величин
- •Последовательность освоения величин в дошкольном возрасте
- •Овладение детьми дошкольного возраста измерением величин
- •1 Центральный круг — содержание познания и обучения. Средний круг — дидактические пособия, материалы, игры. Внешний круг — приемы обучения и оценки ребенком величин.
- •Познание прямых и обратных зависимостей в процессе измерения величин
- •3.5. Особенности и методика развития у детей дошкольного возраста представлений о массе предметов и способах измерения массы
- •3.6. Развитие пространственных представлений в дошкольном возрасте
- •Особенности пространственной ориентировки ребенка дошкольного возраста
- •Методика развития пространственных представлений и умений ориентироваться
- •3.7. Развитие временных представлений у детей дошкольного возраста
- •3.8. Освоение количественных отношений, чисел и цифр детьми дошкольного возраста
- •Особенности познания количественных отношений, чисел и цифр в дошкольном возрасте. Зависимость восприятия численности от пространственно-качественных особенностей множеств
- •Зависимость восприятия численности от пространственно-качественных особенностей множеств
- •Содержание развития у детей количественных и числовых представлений
- •Увеличение и уменьшение чисел. Решение практических задач
- •3.9. Освоение простейших зависимостей и закономерностей в дошкольном возрасте
- •3.9.1. Развитие понимания сохранения количества и величины у детей дошкольного возраста
- •Методика использования творческих задач, вопросов и ситуаций в обучении дошкольников
- •4.2. Моделирование как средство логико-математического развития детей дошкольного возраста
- •Методика развития моделирования у детей дошкольного возраста
- •4.3. Реализация идеи интеграции в логико-математическом развитии дошкольников
- •Логико-математическое и экономическое развитие дошкольников
- •Логико-математическое и речевое развитие дошкольников
- •Логико-математическое и физическое развитие дошкольников
- •Логико-математическое и художественно-эстетическое развитие дошкольников
- •4.4. Развивающая среда как средство развития математических представлений дошкольников
- •4.5. Использование познавательных книг математического содержания и рабочих тетрадей в логико-математическом развитии дошкольников
Отношения между двумя множествами
С целью уточнения вернемся к вопросу об отношении включения одного множества в другое.
Вообще говоря, в математике различаются два вида включения: в широком смысле (нестрогое включение) и в узком смысле (строгое включение). Первое обозначается знаком с. Запись «AczB» означает, что все элементы Л принадлежат В. При этом возможны два случая:
все элементы В принадлежат А, т. е. AczB и ВсА. В этом случае множества An В состоят из одних и тех же элементов и называются равными, что обозначается так: «А=В». Например, если А — множество всех больших блоков, а В — множество всех блоков, которые не являются малыми, то А=В. Как видно, равные множества по существу совпадают (при задании их перечислением элементов они могут отличаться лишь порядком перечисления, который несуществен);
не все элементы В принадлежат А, т. е. AciB, но BczA. В таком случае говорят также, что А строго включается в В — или А является собственной (или правильной) частью В. Это отношение в математической литературе обычно обозначается символом «с» {A(zB).
В предматематической подготовке дошкольников встречается лишь строгое включение, собственная часть множества.
В играх с обручами моделируются и другие отношения, в которых могут находиться два множества. Так, например, множества красных (А) и не красных (Л) блоков не имеют ни одного общего элемента, т. е. их пересечение пусто (АглА = 0). Такие два множества, как мы уже знаем, называются непересекающимися (в литературе встречается и термин «дизъюнктные» множества). Множества красных (А) и квадратных (В) блоков имеют общие элементы (красные квадраты), т. е. их пересечение непусто (АглВф0), причем ни одно из этих множеств не включается в другое, т. е. не является подмножеством другого. Такие два множества называются пересекающимися.
Выявление правильных отношений между множествами окружающих нас предметов — составная часть формирования и развития представлений дошкольников об окружающем мире. Выработка у дошкольников простейших представлений классификации окружающих предметов является основой для формирования в дальнейшем математического мышления, связанного с моделированием и исследованием различных математических конструкций, способствует повышению алгоритмической культуры учащихся.
2.2. Отношения Бинарные отношения
Под бинарным отношением понимают отношение между двумя предметами. Дальше, говоря «отношение», мы будем иметь в виду именно бинарное отношение. Выясним, что интуитивно понимают под отношением и как это понятие можно описать математически.
Из курса школьной математики известны многочисленные примеры отношений:
между числами: равно, не равно, меньше, больше, не меньше, не больше, делит, делится на;
между точками прямой: предшествует, следует за;
между прямыми: параллельны, пересекаются, перпендикулярны, скрещиваются;
между прямой и плоскостью: параллельны, пересекаются, перпендикулярны;
между плоскостями: параллельны, пересекаются, перпендикулярны;
между геометрическими фигурами: равно, подобно и др.
Это, разумеется, далеко не полный перечень встречающихся в школьной математике отношений.
Примеры бинарных отношений встречаются не только в математике, но и всюду в жизни, вокруг нас. Родственные и другие отношения между людьми (быть отцом, дедушкой, матерью, бабушкой, братом, сестрой, другом, ровесником; старше, моложе, выше, ниже и др.) выступают как бинарные отношения. Отношения между событиями во времени (раньше, позже, одновременно), между предметами по их расположению в пространстве (выше, ниже, левее, правее, севернее, южнее и др.) также выступают как бинарные отношения.
Всегда, когда речь идет о некотором отношении, имеются в виду два множества А я В; при этом некоторые элементы множества А находятся в данном отношении с некоторыми элементами множества В или того же множества А.
Таким образом, всякое отношение между элементами множеств А и В (или между элементами множества А) порождает множество пар, первые компоненты которых принадлежат А, вторые — В (или тоже А), т. е. порождает подмножество АхВ (или АхА), причем такое, что элементы каждой пары и только они находятся в данном отношении.
Всякое отношение между элементами двух множеств А и В полностью характеризуется тремя множествами: А и В, между элементами которых установлено отношение, и некоторым множеством пар Р — подмножеством АхВ, т. е. декартовым произведением. Один из путей определения математического понятия отношения и состоит в отождествлении этого понятия с указанной тройкой множеств.
Отношением между элементами непустых множеств А и В называется тройка множеств р=(Р, А, В), где P<zAxB.
Множество пар Р называется графиком отношения р.
Об элементах пары (х, у), принадлежащей графику Р, говорят, что они находятся в отношении р, и записывают это так: «хру».
Таким образом, записи «(х, у)е Р» или «хру» равносильны.
Если В—А, то р=(Р, А, А) называется отношением между элементами множества А.