Глава 2. Теоретические основы развития математических представлений у дошкольников

Теоретические основы развития математических представле­ний у дошкольников и учеников начальной школы получили сравнительно недавно (примерно 20 лет назад) специальное на­звание — «предматематика» (англ. premathematics).

Традиционно в качестве теоретических основ обучения при­нимали соответствующие математические теории в их завершен­ном виде. Однако дедуктивно построенная математическая тео­рия в ее абстрактном виде не может служить основой для до­школьного и начального школьного обучения математике.

Предматематику не следует принимать за «детскую математи­ку». На предматематическом уровне изучаются некоторые понятия и темы школьного курса математики в средних и старших классах школы. Этот уровень часто используется и в научно-популярной литературе. Что же касается развития математических представле­ний у дошкольников и обучения математике в начальных классах школы, то они полностью находятся на предматематическом уров­не, отражают соответствующую стадию развития математических знаний. Поэтому цели и результаты этого обучения правомерно на­зывать «предматематической» подготовкой дошкольников и млад­ших школьников, т. е. их подготовкой к изучению математики.

Основная цель теоретических основ развития математических представлений — математическое описание и уточнение смысла всего того, что практикуется на занятиях с дошкольниками, разъ­яснение тех понятий, о которых у детей формируют соответству­ющие представления. Этой цели и подчинено изложение теорети­ческих основ. Мы не будем строить здесь какие-нибудь строгие математические теории. Все изложение ведется на предматемати­ческом уровне. Для иллюстрации различных понятий, фактов или конструкций мы будем пользоваться примерами и играми, моде­лирующими эти понятия или конструкции, и соответствующим дидактическим материалом. Таким образом, теоретические осно­вы излагаются в непосредственной связи с элементарными мате­матическими представлениями, формируемыми у дошкольников в процессе их обучения в детском саду. Особенностью этого изло­жения является выявление логической структуры мышления, раз­виваемой одновременно с математическими представлениями. Это дает возможность педагогу повысить развивающий эффект при фор­мировании у школьников математических представлений.

Используемая при изложении теоретических основ специаль­ная логическая и математическая терминология и символика не предназначена, разумеется, для обучения дошкольников.

2.1. Множества Характеристическое свойство множества

Всякое свойство можно рассматривать как принадлежность некоторым предметам.

Например, свойством быть красным обладают некоторые цве­ты, ягоды, автомашины и другие предметы. Свойством быть круг­лым обладают луна, мяч, колеса велосипедов и автомашин, детали различных машин и станков и др.

Таким образом, с каждым свойством связывается множество (предметов), обладающих этим свойством. Говорят также, что множество характеризуется данным свойством — или множество задано указанием характеристического свойства.

Под характеристическим свойством множества понимают та­кое свойство, которым обладают все предметы, принадлежащие это­му множеству (элементы этого множества), и не обладает ни один предмет, не принадлежащий ему (не являющийся его элементом).

Иногда свойство отождествляется с множеством предметов, характеризуемым этим свойством. Говоря круглое, мы одновре­менно мыслим о множестве всех круглых предметов.

Если некоторое множество А задано указанием характеристи­ческого свойства Р, то это записывается следующим образом:

А={х\Р(х)}

и читается так: «А — множество всех х таких, что х обладает свой­ством Р», или, короче, «А — множество всехх, обладающих свой­ством Р». Когда говорят: «множество всех предметов, обладающих свойством Р», имеются в виду те и только те предметы, которые обладают этим свойством.

Естественно, что некоторым свойством может обладать беско­нечное множество предметов, другим — лишь конечное множест­во. Поэтому множества подразделяются на конечные и бесконечные.

Конечное множество может быть задано непосредственным перечислением всех его элементов в произвольном порядке. На­пример, множество детей данной группы, живущих на Садовой улице, может быть задано описанием с помощью характеристи­ческого свойства:

{х\х — живет на Садовой улице} или же перечислением всех его элементов в произвольном порядке:

{Лена, Саша, Витя, Ира, Коля}.

Вполне понятно, что бесконечное множество нельзя задать перечислением всех его элементов.

Математика в большей мере имеет дело с бесконечными мно­жествами (числа, точки, фигуры и другие объекты), но основные математические идеи и логические структуры могут быть смоде­лированы на конечных множествах.

Естественно, что в предматематической подготовке обычно имеют дело с конечными множествами.

Элементами таких множеств могут быть самые разнообразные предметы любой природы, как конкретные (растения, животные, предметы обихода и т. д.), так и абстрактные (числа, геометриче­ские фигуры, отношения и т.д.), или изображения таких объек­тов. Чаще всего мы будем пользоваться множествами, элементами которых являются знакомые детям предметы или их изображения. При этом изображение птички так и будем называть птичкой, изображение дерева — деревом и т. п.