- •Глава 1. Функція
- •§1. Функції, їх властивості та графіки
- •Співвідношення в прямокутному трикутнику
- •Ф ормули площ і об’ємів
- •Запитання для самоконтролю
- •§2. Простіші перетворення графіків функції
- •Запитання для самоконтролю
- •Запитання для самоконтролю
- •§ 3. Наближене розв’язування рівнянь
- •§4 . Функції багатьох змінних
- •Запитання для самоконтролю
- •§5. Границя і неперервність функції
- •8.Основні поняття математичної статистики.
- •16. Знайти границі функцій :
- •7. Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини.
- •4. Формула повної ймовірності.
- •5. Формула Бернуллі.
- •6. Випадкова величина. Закон її розподілу.
- •Запитання для самоконтролю
- •Глава 2 . Похідна і її застосування
- •§6. Похідні і диференціали функцій
- •1.Похідна , її фізичний і геометричний зміст.
- •Правила диференціювання
- •2. Визначення ймовірності події.
- •3. Операції над подіями.
- •§ 30. Основні поняття теорії ймовірностей
- •1.Основні поняття і означення.
- •2. Диференціал функції. Застосування диференціала до наближених обчислень.
- •17. Знайти похідні наступних функцій:
- •Глава 10. Елементи теорії ймовірностей
- •§ 29. Основні поняття комбінаторики
- •Запитання для самоконтролю
- •Запитання для самоконтролю
- •§7. Застосування похідної
- •1.Монотонність функції. Екстремум функції.
- •2. Випуклість графіка функції. Точки перегину.
- •3. Побудова графіків функції.
- •Запитання для самоконтролю
- •Глава 3. Інтеграл і його застосування
- •§8. Невизначений інтеграл
- •Невизначений інтеграл і його властивості.
- •40. Знайти інтеграли:
- •Парабола і її рівняння .
- •Гіпербола та її рівняння .
- •Запитання для самоконтролю
- •2. Інтегрування підстановкою і по частинах
- •3.Еліпс і його рівняння.
- •§ 28. Криві другого порядку .
- •41. Знайти невизначений інтеграл:
- •§ 27. Рівняння прямої та площини в просторі.
- •3. Рівняння площини , що проходить через задану точку
- •4. Загальне рівняння площини.
- •5. Рівняння площини , що проходить через через три точки m1(x1, y1, z1) , m2(x2, y2, z2) , m3(x3, y3, z3) .
- •Кут між двома прямими.
- •42. Знайти інтеграли:
- •§9. Визначений інтеграл
- •1. Формула Ньютона-Лейбніца. Основні властивості визначеного інтеграла.
- •43. Обчислити визначені інтеграли:
- •1. Параметричне і канонічне рівняння прямої
- •2. Рівняння прямої , що проходить через дві точки .
- •3. Рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно даному вектору .
- •Ділення відрізка у даному відношенні .
- •§ 26. Різновиди рівнянь прямої на площині .
- •§10. Застосування визначеного інтеграла
- •1. Обчислення площ плоских фігур.
- •Глава 9. Елементи аналітичної геометрії
- •§ 25. Рівняння лінії на площині
- •Поняття про лінію та її рівняння .
- •Знаходження відстані між двома точками .
- •Запитання для самоконтролю
- •2. Обчислення об’єму тіла.
- •44. Обчислити площі фігур, обмежених лініями:
- •§ 11. Застосування визначеного інтеграла до розв’язування фізичних задач.
- •1.Знаходження шляху, пройденого тілом при прямолінійному русі.
- •Властивості векторного добутку
- •§24. Векторний добуток векторів.
- •2. Обчислення роботи сили, при прямолінійному русі тіла.
- •3. Обчислення роботи, затраченої на розтяг або стискання пружини.
- •§ 23. Вектори в системі координат.
- •Запитання для самоконтролю
- •Глава 8. Елементи векторної алгебри
- •§ 22. Вектори .
- •Запитання для самоконтролю
- •Глава 4. Комплексні числа
- •§ 12 . Означення комплексних чисел і дій над ними
- •119. Розв’язати за формулами Крамера системи рівнянь :
- •120. Розв’язати системи рівнянь :
- •§21. Розв’язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера
- •2. Тригонометрична і показникова форми комплексного числа .
- •115. Знайти добуток матриць:
- •116. Обчислити :
- •113. Додати матриці а і в , якщо :
- •114. Обчисліть лінійні комбінації матриць:
- •3. Дії над комплексними числами в тригонометричній і показниковій формах.
- •4. Застосування комплексних чисел в розрахунку фізичних величин .
- •§20. Матриці
- •Лінійні операції над матрицями.
- •111. Обчислити визначники :
- •Запитання для самоконтролю
- •Глава 7. Елементи лінійної алгебри
- •§19. Визначники
- •Глава 5. Диференціальні рівняння
- •§ 13. Диференціальні рівняння першого порядку
- •1.Поняття про диференціальне рівняння
- •2. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.
- •Запитання для самоконтролю
- •§ 18. Ряди Фур’є
- •Алгоритм розв’язання
- •3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
- •§ 17. Ряд Тейлора
- •Алгоритм розв’язання
- •Запитання для самоконтролю
- •§ 16. Функціональні ряди. Степеневі ряди.
- •1. Функціональні ряди.
- •2.Степеневі ряди.
- •§ 14. Диференціальні рівняння другого порядку
- •1.Простіші диференціальні рівняння другого порядку.
- •4. Знакозмінні ряди
- •5. Абсолютна та умовна збіжності
- •2.Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами.
- •Глава 6. Ряди
- •§ 15. Числові ряди
- •1. Означення числового ряду.
- •2. Збіжні і розбіжні ряди.
- •3. Знакододатні ряди. Достатні ознаки збіжності
- •Запитання для самоконтролю
Запитання для самоконтролю
1. Як визначають числовий ряд, його часткову суму, суму ряду?
2. Який ряд називають збіжним, розбіжним?
3. Як математично записати необхідну умову збіжності числового ряду?
4. Як формулюються достатні ознаки збіжності додатних числових рядів?
5. Які різновиди збіжності існують для знакозмінних числових рядів?
6. Коли застосовуються і як формулюється ознака Лейбніца?
7. Як визначають радіус, інтервал та область збіжності степеневого ряду?
§ 18. Ряди Фур’є
В багатьох технічних задачах виникає необхідність представляти довільні функції через простіші періодичні функції. Такі задачі часто виникають в електротехніці. Математичним апаратом для дослідження таких задач служать ряди Фур’є.
Нехай f(x) − 2 -періодична кусково-диференційовна на відрізку функція. Тоді ряд Фур’є цієї функції має вигляд
51
де f(x) і (y)− задані і неперервні на деякому інтервалі функції, називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.
Рівняння такого виду розв’язуються за допомогою розділення змінних.
Алгоритм розв’язання
1о. Виражають похідну функції через диференціали
dx і dy.
2о. Члени з однаковими диференціалами переносять в одну сторону рівності і виносять диференціал за дужку.
3о. Розділюють змінні.
4о.Інтегрують обидві частини рівності і знаходять загальний розв’язок.
5о. Якщо задані початкові умови, то знаходять частинний розв’язок.
Вправи
78. Складіть диференціальне рівняння, розв’язками якого є функції:
1) у= х2+С; 2) у=х3+С; 3) у=С℮2х; 4) у=Сх3;
5) у= (х– 1)3 .
79. Розв’яжіть рівняння:
1) у′=3; 2) 3) у′+4х=0; 4)
5) х′=2t3+3t+5; 6) 7) 8) y′=x+sinx;
9) y′=℮-3x; 10) ℮xdx=ydy; 11) 12)
69
13) 14)
80. Розв’яжіть задачу Коші:
1) у′=3х2+2х+1, у(1)=4; 2) у′=4х-3, у(1)=2;
3) у′= , у(0)=5/6; 4)
81. Розв’яжіть рівняння:
1) xdy+2ydx=0; 2) x2dy=y2dx; 3)
4) y′=x; 5) y′=y2cosx; 6) y′-y-1=0; 7) 8) y′=-y+2; 9)
10) (x2+1)dy-xydx=0; 11) y′=2x(y-1)2; 12) y′+ytgx=0.
82. Розв’яжіть задачу Коші:
1) xdy=ydx, y(2)=6; 2) 3y2dy=x2dx, y(3)=1;
3) y′=2+y, y(0)=3 ; 4) y′-y/x=0, y(1)=5;
5) (x-1)dy=(y+1)dx, y(2)=3; 6) ytgxdx+dy=0, y( .
83. Проведіть через точку М(1;4) інтегральну криву рівняння:
1) у′ = у/х; 2) у′=2 3) у ′ = -у.
3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
Означення 4. Рівняння виду y′+py=q, де p і q − функції змінної х або сталі величини, називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.
Якщо q=0, то рівняння приймає вигляд y′+py=0 і називається лінійним однорідним. Воно є рівнянням з відокремлюваними змінними.
68
Розв’язання. R=
тобто R=2, ряд збігається в інтервалі (-2; 2 ).
Зауваження. На практиці інтервал збіжності степеневого ряду часто знаходять за ознакою Даламбера або ознакою Коші, застосовуючи їх до ряду , складеного з модулів членів заданого ряду.
Вправи
103. Знайдіть радіус збіжності і область збіжності ряду:
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7)