Средние величины

1. Средняя арифметическая

а) для дискретного ряда:

б) для интервального ряда:

где х’ – середина соответствующего интервала, вычисленная как средняя из границ интервала:

2. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине совокупности. Положение медианы определяется ее номером: , где n – число единиц в совокупности. Численное значение медианы в ранжированном дискретном ряду с нечетным количеством единиц равно значению варьируемого признака, соответствующего найденному номеру (положению) медианы в ряду:

Если в дискретном ряду четное количество единиц, то численное значение медианы определяют как:

В интервальном ряду численной значение медианы определяют с помощью накопленной частоты:

где x_Me – нижняя граница медианного интервала

i – величина медианного интервала

S_(Me-1) - накопленная частота интервала, предшествующего медианному

f_Me – частота медианного интервала

3. Мода - величина варьируемого признака, чаще всего встречающаяся в данном ряду распределения, то есть имеющая наибольшую частоту. Численное значение моды определяется значением признака с наибольшей частотой – для дискретного ряда, а для интервального ряда следующим образом:

где x_Mo – нижняя граница модального интервала

f_Mo – частота модального интервала

f_(Mo-1) – частота интервала, предшествующего модальному

f_(Mo+1) – частота интревала, следующего за модальным

4. Среднее линейное отклонение:

Для не сгруппированных данных:

Для вариационного ряда:

Для интервального ряда:

5. Среднеквадратическое отклонение:

а) Для не сгруппированных данных:

Дисперсия:

б) Для вариационного ряда:

Дисперсия:

в) Для интервального ряда:

Дисперсия:

Существуют упрощенные формулы для расчета дисперсии:

а) по средним:

б) по частостям:

Для сравнительной оценки вариации и характеристики однородности совокупности применяют коэффициент вариации:

Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.

Квартили, децили, перцентили

Обобщающие характеристики центра распределения и степени вариации не дают представления о форме распределения, так как не вскрывают характера изменения частот.

Для выражения особенностей формы распределения применяются ранговые характеристики.

Ранговые характеристики – это варианты, занимающие в вариационном ряду определенное место.

К их числу относятся квартили, децили, перцентили.

Квартили – значения признака, которые делят ранжированный ряд на 4 равные по численности части.

Q₁ Q₂ Q₃

Первая квартиль – Q₁

Вторая квартиль (совпадает с медианой) - Q₂

Третья квартиль - Q₃

Вычисление квартилей аналогично вычислению медианы: сначала определяют положение (место) квартили в ряду.

Место первой квартили:

Место второй квартили:

Место третьей квартили:

Затем по накопленным частотам определяют численное значение по формуле:

где x_Q – нижняя граница интервала, в котором находится квартиль

N_Q – место квартили

S_(Q-1) – накопленная частота интервала, предшествующего тому, где находится квартиль

f_Q – частота интервала, в котором находится квартиль

Децили – значения признака, которые ранжированный ряд делят на 10 равных частей. Расчеты ведутся аналогично расчетам квартилей:

и так далее до , где n – общее число единиц в совокупности

Численное значение определяется по формуле:

где x_D – нижняя граница интервала, в котором находится дециль

N_D – место децили

S_(D-1) – накопленная частота интервала, предшествующего тому, где находится дециль

f_D – частота интервала, в котором находится дециль

Перцентили – значения признака, делящие ранжированный ряд на 100 равных частей. Все вычисления аналогичны вычислениям децилей и квартилей.

Предварительная оценка рассеяния признака определяется с помощью размаха вариации:

Но, если критические значения признака не типичны для совокупности, то есть они являются аномальными значениями, то используют квартильный, децильный и перцентильный размах.

Квартильный размах:

Децильный размах:

Перцентильный размах:

С точки зрения применения для различных шкал:

а) коэффициент вариации вычисляется и имеет смысл только для шкал равных отношений

б) медиана рассчитывается только для порядковых шкал

в) Мода – только для номинальных шкал

г) Средняя арифметическая – для интервальных и шкал равных отношений

д) Все показатели вариации вычисляются только для интервальных шкал или шкал равных отношений.