11 Нелинейная регрессия. Проверка результатов регрессии.

В случае, если корреляционное поле показывает явно нелинейную связь между показателями, или когда (согласно F-критерия) отвергнута гипотеза о линейной связи между X и Y, надо строить нелинейную регрессию. Обычно рассматривают следующие уравнения нелинейной регрессии:

Y = a₀ + a₁X + a₂X² + a₃X³ +…+ a_nXⁿ – полиномиальная регрессия,

Y = a₀ + a₁Ln X – логарифмическая регрессия,

Y = aExp(bX) – экспоненциальная регрессия, Y = aX^b – степенная регрессия.

Полиномиальная регрессия выбирается, когда имеет место немонотонная зависимость между X и Y. Если на корреляционном поле есть n точек максимума и минимума, то выбирается полиномиальная регрессия (n+1)-го порядка.

Обычно полиномиальную регрессию с помощью замены переменных сводят к линейной множественной регрессии. В других случаях нелинейной регрессии ее сводят к простой линейной с помощью замены переменных. Данная процедура состоит в следующем.

Пусть, исходя из экономических соображений или из вида корреляционного поля, выбрана степенная регрессионная модель: Y = aX^b, логарифмируя – получим соотношение: Ln(Y) = Ln(a) + bLn(X). Затем, строится таблица, делается замена переменных: V = Ln(Y), Z = Ln(X). По данным таблицы, строится линейная регрессия: V = a₀ + a₁Z = a₀ + a₁Ln(X).Получаем: a₀ = Ln(a), a₁ = b. Откуда нелинейная регрессия будет иметь вид:Y = Exp(a₀)X^a1.

12 Множественная регрессия. Прогнозирование данных.

Если значение Х представляет собой время, то уравнение регрессии называют уравнением тренда. А функцию f(t) – функцией трендов.

Функция f(t) характеризует изменение показателя У от времени. В этом случае наблюдаемое значение У(t) называется временным рядом.

В общем случае модель временного ряда рассматривают как сумму 3-х компонентов. f(t)=f0(t)+f1(t)+f2(t). Где f0(t)- монотонная функция или монотонный тренд, f1(t) – сезонная компонента с периодом 1 год, f2(t)- циклическая компонента с периодом несколько лет.

При обработке исходных данных, при прогнозировании часто необходимо определить влияние на показатель У значений нескольких факторов (х1…хn), наблюдаемых в разные моменты времени t. Если нет функциональной зависимости между х и У, то используют общую зависимость стохастической модели: Y(t) = F(х1,x2 … xp) + U(t), Если случайная величина явно не выражена, то называется многофакторной зависимостью.

Уравнение множественной линейной регрессии имеет вид:

,

коэффициенты a_i -коэффициенты множественной регрессии.

Для определения коэффициентов a_i записывают уравнение множественной линейной регрессии для различных моментов времени наблюдения t=1,2,…n,n- количество наблюдений. И получаем систему, состоящую из n уравнений, относительно k неизвестных Предполагают, сто количество неизвестных должно быть меньше количества наблюдений(k<n). в связи с k<n рассчитывается rang(x)=k. Для определения нелинейных параметров используют МНК из задачи минимизации суммы квадратов остатков. Используются частные производные каждому из коэффициентов и рассчитываются коэффициенты множественной регрессии. - вектор остатков регрессии между исходными данными. И рассчитывается .

Для обеспечения качества модели должно выполняться условие, когда количество наблюдений в 3 раза больше количества факторов(n>3k).

Модель множественной регрессии оценивается с помощью критериев:

1)коэффициент детерминации(R²);

2)анализ R²→1. Если R²> 0,8 –модель точная, R²<0,5 – модель не очень точная и ее нужно улучшать;

3)коэффициент множественной корреляции ;

3)скорректированный коэффициент детерминации;

4)стандартная ошибка;

5) оценка того насколько верна гипотеза о линейной регрессии между У и факторами х_i осуществляется по критерию Фишера .

Если то полученные значения принимается, в противном случае, гипотеза о линейной регрессии отвергается и необходимо модель улучшать;

6)Оценка значимости коэффициентов регрессии (кроме свободного члена) осуществляется сравнением статистики. , -диагональный элемент матрицы.

Если рассчитанное значение Т статистики Стьюдента превосходит табличное, то j-коэффициент считается значимым. Иначе соответствующий данному коэффициенту фактор нужно исключить из модели;

7)доверительный интервал для прогнозирования значений линии регрессии. Определяется , где SE -погрешность, - табличное значение критерия Стьюдента при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы -вектор столбец факторов для прогнозных значений времени (время-прогнозное) (t=n+1,n+2….), n-количество наблюдений, k - количество переменных, - матрица, которая соответствует наблюдаемым значениям факторов;

8) Коэффициент эластичности показывает на сколько % измениться значение У при изменении х_j на 1%. Коэффициент β показывает на какую часть среднего квадратичного отклонения измениться У при изменении х_j на величину среднего квадратичного отклонения. S_j и S_y несмещенные средние квадратичные отклонения. Долю влияния j-го фактора в суммарном влиянии всех факторов на показатель У оценивают с помощью: , Чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем теснее связь.

Для построения множественной регрессии выбираются факторы х_i для которых коэффициент регрессии , то один из факторов с меньшим значением отбрасывается, так как между x_i и x_j существует мультиколлинеарность, т.е сильная статическая связь. Отбрасывая факторы с меньшим значением следят за выполнением неравенства: (n>3k), где n- количество наблюдений, k- количество факторов х. Если условия не выполняются, то увеличивают количество наблюдений. Далее строят регрессионную модель и оценивают статические характеристики.