2.5. Сопротивление

Рассмотрим стержень из произвольного материа­ла длиной l. При подключении концов стержня к источнику напряжения V (рис.2.5.1) внутри материала появится электрическое поле с напряженностью Е:

(2.5.1)

Рис.2.5.1. Напряжение, приложенное к стержню, вызывает появление в нем электрического тока.

Пусть длина стержня равна 1 м, а напряжение источника — 1,5 В, тогда электри­ческое поле будет обладать напряженностью 1,5 В/м. Поле действует на свобод­ные электроны, заставляя их двигаться против направления поля. Это означает, что через материал начинает течь электрический ток. Скорость потока электри­ческих зарядов (количество зарядов в единицу времени) через поперечное сече­ние стержня называется электрическим током:

(2.5.2)

В системе СИ единицей измерения электрического тока является Ампер (А): 1А = 1 Кулон/секунду. В системе СИ ампер равен электрическому току, протекающе­му по двум бесконечно длинным параллельным проводникам, расположенным на расстоянии 1 м друг от друга, который создает силу, действующую на провод­ники (из-за появления магнитных полей вокруг них), равную 2*10^-7 Н на каждый метр длины.

Для каждого материала есть характерис­тика, описывающая его способность пропускать электрический ток. Она называ­ется удельным сопротивлением. При этом говорят, что материал обладает электри­ческим сопротивлением, которое можно определить по закону Ома:

(2.5.3)

Любые материалы, имеют удельное сопротивление, и поэтому называются резисторами. В системе СИ единицей измерения сопротивления является Ом: 1 Ом = 1 Вольт/1 Ампер. Поведение электрических цепей под­чиняется законам Кирхгофа, названным в честь немецкого физика Густава Ро­берта Кирхгофа (1824-1887). Первоначально эти законы были выведены для во­допроводных сетей. Из вышеприведенных аналогий, очевидно, что они оста­лись, практически, неизменными и для электрических цепей.

Сопротивление является характеристикой любого устройства. Его величина определяется как самим материалом, так и геометрией резистора. Материал, как правило, характеризуется величиной удельного сопротивления ρ:

(2.5.4)

где j — плотность тока. В системе СИ единицей измерения удельного сопротивления является Ом*метр. Удельное сопротивление материала можно выразить через среднее время меж­ду столкновениями электронов с атомами вещества τ, заряд электрона е, его мас­су m и число электронов проводимости в единичном объеме n:

(2.5.5)

Для нахождения сопротивления проводника можно воспользоваться следующей формулой:

(2.5.6)

где а — площадь поперечного сечения проводника, а l — его длина.

Проводимость материала зависит от изменений температуры t, и в сравнительно узком диапазоне она может быть выражена при помощи температурного коэф­фициента сопротивления (ТКС) α:

(2.5.7)

где ρ₀ — удельное сопротивление материала при эталонной температуре t₀ (обыч­но равной либо 0°С, либо 25°С). В более широком диапазоне зависимость удель­ного сопротивления от температуры является нелинейной функцией. На рис.2.5.2 показано, как нелинейная зависимость удельного сопротивле­ния вольфрама от температуры в широком диапазоне значений может быть заме­нена прямой линией с α = 0,0058 °С^-1, полученной методом наименьших квадра­тов. Такое приближение может быть использовано только для оценочных расче­тов. Для случаев, где требуется большая точность, для моделирования удельного сопротивления применяют полиноминальную зависимость более высокого по­рядка. Например, удельное сопротивление вольфрама в широком температурном диапазона может быть найдено из уравнения второго порядка:

(2.5.8)

где t — температура в °С, а ρ — в Ом*м.

Металлы имеют положительный ТКС (ПТКС), а многие полупровод­ники и оксиды — отрицательный (ОТКС). Для резисторов, используе­мых в электронных схемах, желатель­но применять материалы с низким температурным коэффициентом, тог­да как для построения температурных датчиков резисторы должны обладать высоким ТКС.

Рис.2.5.2. Зависимость удельного сопротивления вольфрама от температуры.

Обычно при механической деформации материала его электрическое сопротив­ление изменяется. Это явление называется пьезорезистивным эффектом. С одной стороны, в некоторых случаях этот эффект является причиной возникновения погрешностей. С другой стороны, на его основе можно реализовать тензодатчики, реагирующие на механическое напряжение σ.

(2.5.9)

где Е— модуль Юнга материала, a F— приложенная сила. В этом уравнении отно­шение dl/l = е называется относительной деформацией материала.

На рис.2.5.3 показан цилиндрический проводник (провод), растянутый при помощи силы F. Объем провода V остается постоянным, тогда как его длина уве­личивается, а площадь поперечного сечения уменьшается. В результате уравне­ние может быть переписано в виде:

(2.5.10)

После дифференцирования получим выражение для определения чувствительно­сти сопротивления к удлинению провода:

(2.5.11)

Из этого выражения можно сделать вывод, что чувствительность повышается при увеличении длины провода и его удельного сопротивления, а также при уменьшении поперечного сечения. Относительное изменение сопротивления провода является линейной функцией от деформации е и может быть выраже­но в виде:

(2.5.12)

где S_e — коэффициент тензочувствителъности или чувствительность тензоэлемента. Для металлических проводов он лежит в пределах 2...6, а для полупроводников — 40...200.

Рис.2.5.3. Механическое напряжение приводит к изменению геометрии проводника и его сопротивления.