11. Тригонометрический ряд фурье

Опр.1 Ряд вида (1)

называется тригонометрическим рядом.

Его частичные суммы явл-ся лин. комбинациями ф-й, входящих в систему

cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, …, cos nx, sin nx, … . (2)

Опр.2 Множество ф-ий (2) наз-ся тригонометрической системой.

Лемма 1. Тригонометрическая система (2) обладает свойствами:

1. ортогональность, т.е. интеграл по отрезку [-π, π] от произведения двух различных функций, входящих в нее, равен нулю

(3)

2) (4)

Теорема 1. Пусть (5)

и ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится равномерно на отрезке [-π, π]. Тогда

, , n=1,2, … . (6)

Опр.3 Пусть функция f абсолютно интегрируема на отрезке [-π, π]. Тригонометрический ряд (1), коэффициенты которого задаются формулами (6), называется тригонометрическим рядом Фурье, а числа a_n и b_n – коэффициентами Фурье функции f.

Теорему 1 в этих терминах можно перефразировать следующим образом:

всякий равномерно сходящийся тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы.

Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье единственно.

12. Кратные интегралы (двойные, тройные):

Пусть в n-мерном пр-ве Rⁿ задана ограниченная область Ω с кусочно-гладкой границей Г (Ω`=Ω+Г) и на Ω (или Ω`) задана ф-я f(x)=f(x₁, …, x_n).

наз. мерой мн-ва Ω, а само мн-во Ω наз-ся измеримым.

Разрежем Ω` на части Ω_j, пересекающиеся разве что по своим границам, которые будем считать кусочно-гладкими. Для краткости будем говорить, что мы произвели разбиение ρ мн-ва Ω (сп-б разбиения не имеет знач-я).

Введем понятие диаметра множества Ω – это есть точная верхняя грань .

Выберем в каждой части Ω_j по произвольной точке ξ^j=(ξ^j₁. …, ξ^j_n ) (ξ^j Ω_j) и составим сумму

,

которую будем наз-ть интегральной суммой Римана ф-и f, отвечающей разбиению ρ.

Предел суммы

,

когда максимальный диаметр частичных множеств Ω_j стремится к нулю, называется кратным интегралом от функции f на Ω (или по Ω`).

Рассмотрим трехмерное пр-во R³, в котором определена прямоугольная система координат (x, y, z). В нем задана непрерывная поверхность z=f(x, y), (x, y) Ω, где Ω – огр. двумерное мн-во, для кот-го возможно опр-ть понятие его площади (двумерной меры). В качестве Ω может быть взят круг, прямоугольник, эллипс и т. д. Ставится задача: опр-ть объем тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x, y), снизу плоскостью z=0 и с боков цилиндрической поверхностью, проходящей через границу Г плоского множества Ω, с образующей, параллельной оси z. Решая задачу о нахождении объема, проводим рассуждения, аналогичные приведенным выше для n-мерного случая. Приходим в результате к определенному двойному интегралу (Римана)

.

Пусть теперь в трехмерном пр-ве R³, где определена прямоугольная система координат (x, y, z), задано тело Ω (мн-во) с неравномерно распределенной в нем массой и плотностью распределения m(x, y, z) тела Ω. Решая эту задачу, приходим к определенному тройному интегралу (Римана)

Свойства кратного интеграла:

1. Линейность:

2. Аддитивность: если и Ø, то

3. Интегрирование неравенств: если f(x)≥g(x), то

4. Теорема о среднем: Пусть ф-и f(x) и g(x) ограничены и интегрируемы на множестве Ω, g(x) не меняет знака на Ω. Тогда существует такое число : .