Классическое определение вероятности
Пусть
для некоторого опыта множество
элементарных исходов Ω
состоит из конечного числа равновозможных
элементарных исходов
(i = 1,
..., n).
Пусть А
– случайное событие, для которого
благоприятствующими являются исходы
,
А = {
},
0 ≤ k
≤ n.
Тогда вероятностью события А называется число
Р(А) = 
.
Примеры: А = {выпадение герба на монете}. Р(А) = 1/2 = 0.5.
B = {выпадение «5» на кубике}. Р(В) = 1/6 = 0.16667.
С = {выпадение числа > 2 на кубике}. Р(С) = 4/6 = 0.66667.
Задача. В урне 8 белых и 3 черных шара. Наугад достали 1 шар. Какова вероятность, что он белый?
Решение. Р = 8/11.
Свойства вероятности
1. Р(А) ≥ 0.
2. Р(А) ≤ 1.
Достигаются ли эти крайние значения? Ответ на этот вопрос дает свойство 3.
3. Р(Ω) = 1. Р(Æ) = 0.
4. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В).
5. Вероятность противоположного события, которую иногда легче найти, чем вероятность самого события А.
Р(А) = 1 – Р( ).
Задача. Подбрасываются 2 кубика. Найти вероятность, что сумма чисел, выпавших на гранях, равна 10.
Решение. Р = 3/36 = 1/12.
Задача. В урне 8 белых и 3 черных шара. Наугад достали 2 шара. Какова вероятность, что оба они белые? Учитываем, что не важно, по очереди достали шары, или оба сразу.
Решение. Используем комбинаторную схему (1):
Р = 
/
= (28 ∙
1)/55 
0.5.
Задача. Пусть в ситуации предыдущей задачи вынутый шар возвращается на место (вынимание с возвращением).
Решение. Р = (8 ∙ 8) / (11 ∙ 11) = 64/121 > 0.5.
Задача. Какова вероятность при двукратном подбрасывании кубика выбросить дважды одно и то же число?
Решение. Р = 6/36 = 1/6.
Вопросы для самопроверки
Какое событие называется случайным?
Определить элементарные исходы опыта.
Какой исход называется благоприятствующим случайному событию А?
Дать определения суммы случайных событий, произведения случайных событий.
Какие события называются несовместными?
Сформулировать правило произведения для подсчета количества комбинаций.
Дать определения перестановок, сочетаний.
Когда можно применить комбинаторную схему (1)?
Сформулировать классическое определение вероятности. В каких случаях оно применимо?
Перечислить свойства вероятности.
1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема сложения вероятностей
В теории вероятностей доказывается, что для любых случайных событий А и В вероятность их суммы может быть представлена через вероятности каждого из этих событий и вероятность их произведения:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∙ В).
Для несовместных событий теорема сложения упрощается:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В).
Теорема умножения вероятностей Условная вероятность
Условная вероятность P(A/B) – это вероятность события А, пересчитанная с учетом того, что достоверно и точно известно, что событие В произошло.
Пример. Пусть при подбрасывании кубика определены случайные события: А = {выпадение 2}, В = {выпадение четной грани}. Определим условные и безусловные вероятности Р(А) = 1/6, Р(В) = 3/6 = 1/2, P(A/B) = 1/3, P(В/А) = 1/1 = 1. Используя понятие условной вероятности, можем сформулировать теорему умножения вероятностей:
P(A ∙ B) = P(A) ∙ P(B/A) = P(B) ∙ P(A/B).
Эта теорема позволяет вычислять вероятности сложных событий, представляя их через простые события, вероятности которых найти гораздо легче.
Задача. В урне 8 белых и 3 черных шара. Наугад достали 2 шара. Какова вероятность, что оба они белые?
Решение. Введем простые события: А = {второй шар – белый}, В = {первый шар – белый}. Тогда нужное нам сложное событие представляется через А и В: C = A ∙ B. Следовательно, по теореме умножения вероятностей P(С) = Р(А ∙ В) = = Р(В) ∙ Р(А/В) = 8/11 ∙ 7/10 = 28/55. Ранее мы эту задачу решили с помощью комбинаторной схемы и получили такой же ответ.