- •Оглавление
- •Глава 1. Теория вероятностей 10
- •Глава 2. Математическая статистика 44
- •Глава 3. Случайные процессы 67
- •Введение
- •Глава 1. Теория вероятностей
- •1.1. Случайные события Основные понятия теории вероятностей
- •Основные определения
- •Операции над случайными событиями
- •Элементы комбинаторики
- •Классическое определение вероятности
- •Свойства вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема сложения вероятностей
- •Теорема умножения вероятностей Условная вероятность
- •Обобщенная теорема умножения вероятностей
- •Независимость случайных событий
- •Вопросы для самопроверки
- •1.3. Формула Бернулли. Формула полной вероятности Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •Формула полной вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.4. Дискретные случайные величины
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •Биномиально распределенные случайные величины
- •Математическое ожидание случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайной величины
- •Свойства дисперсии
- •Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Вопросы для самопроверки
- •1.5. Непрерывные случайные величины
- •Плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •Cвойства функции плотности вероятности
- •Нормальное распределение
- •Правило трех сигм
- •Независимость случайных величин. Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Следствия из закона больших чисел
- •Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Математическая статистика
- •2.1. Основные понятия математической статистики
- •Приемы обработки выборок
- •Построение гистограммы относительных частот
- •Точечные оценки параметров генеральной совокупности
- •Дополнительные свойства точечных оценок
- •Проверка взаимозависимости генеральных совокупностей. Выборочный коэффициент корреляции
- •Интервальные оценки параметров генеральной совокупности
- •Вопросы для самопроверки
- •2.2. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Этапы проверки статистических гипотез
- •Проверка гипотез о параметрах генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Случайные процессы
- •3.1. Элементы теории случайных процессов Определение случайного процесса
- •Основные характеристики случайных процессов
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайного процесса и ее свойства
- •Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства
- •Нормированная корреляционная функция
- •Взаимная корреляционная функция и ее свойства
- •Нормированная взаимная корреляционная функция
- •Производная и интеграл от случайной функции
- •Интеграл от случайной функции и его характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Заключение
- •Библиографический список
Приемы обработки выборок
1. Ранжирование – упорядочение элементов выборки в порядке возрастания. Одинаковые значения повторно включаются в ранжированный ряд.
2. Чтобы избежать дальнейших громоздких действий с выборкой, строится группированный статистический ряд:
– определяется диапазон выборки
[xmin, xmax];
– находится шаг разбиения
;
– вычисляются границы интервалов (с точностью не менее трех знаков после запятой):
z0 = xmin, z1 = z0 + h, z2 = z1 + h, z3 = z2 + h;
z4 = z3 + h, z5 = z4 + h ~ ;
– находятся значения середин интервалов , i = 1, ..., 5, :
, , ,
, .
Графическое представление проведенного разбиения диапазона выборки на интервалы:
z0 z1 z2 z3 z4 z5
– вычисляются частоты попадания значений в интервалы:
n1, n2, n3, n4, n5,
при этом должна выполняться контрольная сумма: .
– находятся относительные частоты попадания значений в интервалы:
w1 = n1/n, w2 = n2/n, w3 = n3/n,
w4 = n4/n, w5 = n5/n,
здесь контролируется выполнение суммы: .
– вычисляются высоты ступеней гистограммы :
, , ,
, .
проверка: .
В результате получаем таблицу группированного статистического ряда:
Номер интервала, i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Границы интервалов, [zi–1, zi] |
[z0, z1] |
[z1, z2] |
[z2, z3] |
[z3, z4] |
[z4, z5] |
– |
Середины интервалов,
|
|
|
|
|
|
– |
Частоты попадания в интервалы, ni |
n1 |
n2 |
n3 |
n4 |
n5 |
50 |
Относительные частоты попадания, wi |
w1 |
w2 |
w3 |
w4 |
w5 |
1 |
Высоты ступеней гистограммы, |
|
|
|
|
|
1/h |
Группированный статистический ряд, включая в себя строки и wi, является аналогом закона распределения дискретной модели исследуемой нами генеральной совокупности.
Построение гистограммы относительных частот
В качестве приближенного изображения графика функции плотности вероятности р(х) в математической статистике используется гистограмма относительных частот. Напомним свойства функции плотности вероятности:
1. р(х) ≥ 0;
2. площадь под графиком р(х) равна единице:
;
3. Р(Х ) = .
Первые два свойства выполняются и для гистограммы, третье свойство, естественно, выполняется лишь асимптотически.
Построение гистограммы начинается с нанесения на горизонтальную ось интервалов [ zi–1, zi ], на которые разбит диапазон выборки. Масштаб выбирается так, чтобы диапазон выборки [хmin, xmax] занимал на графике около 10 см. Далее, на вертикальной оси откладывается значение , таким образом, чтобы оно занимало отрезок длиной 6–7 см. Над интервалами строим ступени гистограммы в виде прямоугольников с высотами, которые берутся из группированного статистического ряда . Эта ступенчатая фигура и является гистограммой. Через середины верхних сторон ступеней проводим плавную линию (пунктир), она является приближенным представлением графика теоретической функции плотности вероятности исследуемой случайной величины.
Для того чтобы увеличить точность приближения необходимо обеспечить значительное увеличение количества наблюдений (объем выборки ) при одновременном уменьшении шага разбиения диапазона выборки . В этом случае мы можем сколь угодно точно приблизить ступенчатую гистограмму к теоретической кривой функции плотности вероятности.
Анализируя гистограмму, можно сделать вывод о виде и свойствах исследуемой генеральной совокупности Х. Укажем три наиболее часто используемых на практике вида распределения случайных величин. Схематические графики их функций плотности вероятности имеют следующий вид:
1. Равномерно распределенные случайные величины |
|
2. Экспоненциально распределенные случайные величины |
|
3. Нормально распределенные случайные величины N(a, ) |
|
В случае нормально распределенных случайных величин под пиком гистограммы располагается значение, равное генеральному среднему (или математическому ожиданию) = М(Х). Наиболее часто реализуемые значения генеральной совокупности лежат в окрестности этого значения. Значения под убывающими ветвями практически не реализуются, их влиянием, в среднем, можно пренебречь.