![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Оглавление
- •Глава 1. Теория вероятностей 10
- •Глава 2. Математическая статистика 44
- •Глава 3. Случайные процессы 67
- •Введение
- •Глава 1. Теория вероятностей
- •1.1. Случайные события Основные понятия теории вероятностей
- •Основные определения
- •Операции над случайными событиями
- •Элементы комбинаторики
- •Классическое определение вероятности
- •Свойства вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема сложения вероятностей
- •Теорема умножения вероятностей Условная вероятность
- •Обобщенная теорема умножения вероятностей
- •Независимость случайных событий
- •Вопросы для самопроверки
- •1.3. Формула Бернулли. Формула полной вероятности Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •Формула полной вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.4. Дискретные случайные величины
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •Биномиально распределенные случайные величины
- •Математическое ожидание случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайной величины
- •Свойства дисперсии
- •Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Вопросы для самопроверки
- •1.5. Непрерывные случайные величины
- •Плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •Cвойства функции плотности вероятности
- •Нормальное распределение
- •Правило трех сигм
- •Независимость случайных величин. Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Следствия из закона больших чисел
- •Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Математическая статистика
- •2.1. Основные понятия математической статистики
- •Приемы обработки выборок
- •Построение гистограммы относительных частот
- •Точечные оценки параметров генеральной совокупности
- •Дополнительные свойства точечных оценок
- •Проверка взаимозависимости генеральных совокупностей. Выборочный коэффициент корреляции
- •Интервальные оценки параметров генеральной совокупности
- •Вопросы для самопроверки
- •2.2. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Этапы проверки статистических гипотез
- •Проверка гипотез о параметрах генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Случайные процессы
- •3.1. Элементы теории случайных процессов Определение случайного процесса
- •Основные характеристики случайных процессов
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайного процесса и ее свойства
- •Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства
- •Нормированная корреляционная функция
- •Взаимная корреляционная функция и ее свойства
- •Нормированная взаимная корреляционная функция
- •Производная и интеграл от случайной функции
- •Интеграл от случайной функции и его характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Заключение
- •Библиографический список
Проверка гипотез о параметрах генеральных совокупностей
Задача
1. Проверка
гипотезы о числовом значении математического
ожидания нормальной генеральной
совокупности Х = N(а,
).
: а = а0.
Точное
теоретическое значение а
– неизвестно,
– среднеквадратическое отклонение –
известно из каких-либо соображений.
Имеется выборка объема n:
(x1,
…,
xn).
Требуется
ответить на вопрос: верна или нет
гипотеза, что а = а0,
совершая
при этом ошибку первого рода с вероятностью
не более
.
Решение
Э т а п 1. : а = а0. – альтернативная гипотеза, может быть взята одного из трех видов:
Случай 1. : а > а0 выбираем, когда значение К по выборке – достаточно большое положительное число.
Случай 2. : а < а0, когда К – большое по модулю отрицательное число.
Случай 3. : а ≠ а0, в остальных ситуациях.
Э
т а п 2. Зададим уровень значимости
.
Э
т а п 3. Построим критерий в виде
.
В математической статистике строго
доказывается, что
.
Это случайная величина, ее конкретные
значения получаются подстановкой
значения
,
вычисленного по выборке (х1,
…, хn).
Так как К
является нормированной нормальной
случайной величиной, то Р
(К
(u1,
u2)) = Ф
(u2)
– Ф
(u1),
где Ф –
интегральная функция Лапласа.
Э
т а п 4. Построение критической области
:
Случай 1. : а > а0. Основное соотношение:
Р(К
>
) =
,
.
Найдем
:
=
=
,
но
,
следовательно,
,
.
Отсюда
– это значение может быть найдено с
помощью таблиц для функции Лапласа.
Функции
и
– монотонно возрастающие. Если уровень
значимости
уменьшается, то обратная функция Лапласа
увеличивается,
увеличивается, соответственно, критическая
область уменьшается.
Случай
2.
:
а < а0,
значит,
Основное
соотношение
=
,
следовательно,
=
=
=
,
значит,
.
Окончательно,
.
Случай
3.
:
а ≠ а0.
=
=
,
следовательно,
.
Значит
,
,
в свою очередь,
.
Э т а п 5. Вычисляем критерий К по выборке, сравниваем полученное значение с и отвергаем либо принимаем гипотезы и , оценивая при этом вероятность ошибки.
Пример.
Проведено 16 замеров времени изготовления
детали. Среднее время изготовления
детали
= 48 с. Предполагается, что время
изготовления подчиняется нормальному
распределению с дисперсией
= 9
с2.
На уровне значимости
= 0.05
ответить на вопрос: можно ли принять
значение 50 с в качестве математического
ожидания времени изготовления детали?
Решение.
: а = 50, а0 = 50, n = 16. – а0 < 0 – надо взять левостороннюю критическую область. Конкурирующая гипотеза : а < а0.
,
=
.
К
,
значит, основную гипотезу придется
отвергнуть, а принять конкурирующую
:
математическое ожидание а
< 50. Однако, если взять значение а0 = 49,
то основная гипотеза будет принята.
Следует отметить, что если уменьшить
уровень значимости до 0.01, то
,
критерий уже не попадает в критическую
область
,
и основная гипотеза
:
а = а0
в этом
случае будет принята даже при а0 = 50.
Задача 2. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух независимых нормальных генеральных совокупностей X и Y.
Постановка
задачи: генеральные совокупности X
и Y
распределены по нормальному закону:
X = N(ax,
)
и Y = N(
,
).
Средние квадратические отклонения
и
предполагаются известными. Имеются две
независимые выборки x1,
…, xn
и
y1,
…, ym.
Требуется ответить на вопрос: можно ли
принять гипотезу
:
=
,
имея при этом вероятность совершить
ошибку первого рода Р(
/
)
не более
?
Решение.
Э
т а п 1.
:
=
.
Конкурирующую гипотезу, как и в предыдущей
задаче, можно формулировать в трех
видах:
:
<
,
:
>
и
:
.
Э т а п 2. Вводим уровень значимости .
Э
т а п 3. Критерий К =
– конкретные значения этой случайной
величины находятся по выборкам. Найдем
ее закон распределения, точнее, докажем,
что К = N(0,
1).
Действительно,
является линейной комбинацией независимых
нормальных случайных величин Xi,
Yj,
поэтому она сама имеет нормальный закон
распределения. Найдем ее числовые
характеристики (используя сведения из
теории вероятности):
– по
предположению.
=
=
(вследствие независимости всех слагаемых).
При делении на
среднее
квадратическое отклонение нормируется
и становится равным 1, а на математическое
ожидание это не влияет.
Э т а п 4. Построение критической области. Аналогично предыдущей задаче, получаем:
при
:
>
,
при
:
<
,
при
:
≠
Э
т а п 5. По
выборкам находим конкретное значение
критерия К
и сравниваем его с
.
Если
,
то основную гипотезу
отвергаем, а альтернативную
принимаем. Если же
,
то
принимается.