- •Оглавление
- •Глава 1. Теория вероятностей 10
- •Глава 2. Математическая статистика 44
- •Глава 3. Случайные процессы 67
- •Введение
- •Глава 1. Теория вероятностей
- •1.1. Случайные события Основные понятия теории вероятностей
- •Основные определения
- •Операции над случайными событиями
- •Элементы комбинаторики
- •Классическое определение вероятности
- •Свойства вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема сложения вероятностей
- •Теорема умножения вероятностей Условная вероятность
- •Обобщенная теорема умножения вероятностей
- •Независимость случайных событий
- •Вопросы для самопроверки
- •1.3. Формула Бернулли. Формула полной вероятности Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •Формула полной вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.4. Дискретные случайные величины
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •Биномиально распределенные случайные величины
- •Математическое ожидание случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайной величины
- •Свойства дисперсии
- •Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Вопросы для самопроверки
- •1.5. Непрерывные случайные величины
- •Плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •Cвойства функции плотности вероятности
- •Нормальное распределение
- •Правило трех сигм
- •Независимость случайных величин. Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Следствия из закона больших чисел
- •Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Математическая статистика
- •2.1. Основные понятия математической статистики
- •Приемы обработки выборок
- •Построение гистограммы относительных частот
- •Точечные оценки параметров генеральной совокупности
- •Дополнительные свойства точечных оценок
- •Проверка взаимозависимости генеральных совокупностей. Выборочный коэффициент корреляции
- •Интервальные оценки параметров генеральной совокупности
- •Вопросы для самопроверки
- •2.2. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Этапы проверки статистических гипотез
- •Проверка гипотез о параметрах генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Случайные процессы
- •3.1. Элементы теории случайных процессов Определение случайного процесса
- •Основные характеристики случайных процессов
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайного процесса и ее свойства
- •Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства
- •Нормированная корреляционная функция
- •Взаимная корреляционная функция и ее свойства
- •Нормированная взаимная корреляционная функция
- •Производная и интеграл от случайной функции
- •Интеграл от случайной функции и его характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Заключение
- •Библиографический список
Основные характеристики случайных процессов
В теории вероятностей случайную величину полностью характеризует закон распределения: F(x) = P(X<x), x R. Для случайного процесса определены законы распределения: F(t, x) = P(X(t) < x), t Т, x R – одномерный закон распределения случайного процесса X(t) и F(t1, …, tn, x1, …, xn) = P(X(t1) < x1, …, X(tn) < < xn), t Т, x1, …, x R, t , …, t Т – многомерный закон распределения случайного процесса X(t). Ясно, что двумерный (при n = 2) закон распределения полнее характеризует случайный процесс X(t), чем одномерный (n = 1). Более того, чем больше n, тем более полно многомерный закон характеризует случайный процесс. Однако использование закона распределения при больших n в связи с большим количеством аргументов на практике вызывает затруднения. Поэтому используют характеристики, описывающие случайные процессы частично.
Первой и важнейшей характеристикой случайного процесса X(t) является его математическое ожидание:
m (t) M [Х(t)] = , (13)
где – одномерная функция распределения случайного процесса X(t). Другими словами, математическим ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция mx(t), которая при любом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса.
Если X(t) – случайный процесс с дискретным состоянием, для которого при каждом t можно записать закон распределения
Х(t) |
х1(t) |
х2(t) |
... |
хi(t) |
... |
хn(t) |
p(t) |
р1(t) |
р2(t) |
... |
рi(t) |
... |
рn(t) |
то формула (13) примет вид
mx(t) M[Х(t)] = .
Если же X(t) – случайный процесс с непрерывным состоянием, т.е. существует плотность распределения случайного процесса X(t), , тогда по формуле (13) получим
m (t) M[Х(t)] = .
Свойства математического ожидания
Пусть Ψ(t) – неслучайная функция а X(t), Y(t) – случайные процессы. Тогда имеют место следующие свойства математического ожидания.
1. M[Ψ(t)] = Ψ(t).
2. M [Ψ(t) X(t)] = Ψ(t) M[X(t)] = Ψ(t) mx(t).
3. M [X(t) + Y(t)] = mx(t) + my(t)).
4. Назовем – центрированным случайным процессом. Тогда M[ ] = 0.
Данные свойства вытекают из аналогичных свойств для случайных величин, рассмотренных в п. 1.4.
Дисперсия случайного процесса и ее свойства
Определение: Dx(t) D[Х(t)] = – дисперсия случайного процесса X(t).
Пусть Ψ(t) – неслучайная функция, X(t) – случайный процесс. Тогда имеют место следующие свойства дисперсии случайного процесса.
D[Ψ(t)] = 0.
D[X(t) + Ψ(t)] = Dx(t).
D[X(t)Ψ(t)] = Ψ² (t) Dx(t).
Свойства 1–3 вытекают из соответствующих свойств для сечений X(t) и Ψ(t) в курсе теории вероятностей (см. п. 1.4).
Следствием определения дисперсии и ее свойств является следующая формула:
Dx(t) = M[(Х(t) – mx (t))²] = M[(Х(t))²] – (mx (t))².
Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства
Для оценки зависимости сечений случайного процесса в разные моменты времени X(t1) и X(t2) вводят корреляционную функцию
= M[ ]. (14)
Если Х(t) – процесс с непрерывным состоянием, то
=
где – совместная плотность распределения двух сечений случайного процесса Х(t).
Таким образом, корреляционная функция – неслучайная функция двух аргументов t1 и t2, выражает степень линейной зависимости между двумя случайными величинами Х(t1) и Х(t2) (степень зависимости между сечениями одного случайного процесса X(t)).
Установим справедливость следующих свойств корреляционной функции.
1. = Dx(t).
2. =
3. = где Y(t) = X(t)+ φ(t), φ(t) – неслучайная функция.
4. = φ(t1) φ(t2) , где Y(t) = φ(t) X(t), φ(t) – неслучайная функция.
5. Пусть Х(t1) и Х(t2) – независимые случайные величины для каждого t1 ≠ t2. Тогда = 0 при t1 ≠ t2, = Dx(t) при t1 = t2 = t.
Доказательство начнем со свойства 1. Из (13) и (14) имеем = M[ ] = Dx(t). Свойство 2 вытекает из (14). Для доказательства свойства 3 достаточно показать, что Это следует из следующей очевидной цепочки равенств:
= Y(t) – = X(t) + φ(t) – M[X(t) + φ(t)] =
= X(t)+ φ(t) – M[X(t)] – φ(t) = .
Теперь из (14) получаем:
] = M[ ] = .
Для доказательства свойства 4 рассмотрим . Согласно (14) = M[ ]. С другой стороны, с учетом свойства 2 математического ожидания, имеем
= Y(t) – = φ(t) X(t)–M[φ(t) X(t)] = φ(t) X(t)–
– φ(t) M[X(t)] = φ(t)(X(t) – mx(t)) = φ(t) .
Теперь согласно свойству 2 математического ожидания, получим
= M[φ(t1) φ( ] =
= φ(t1) φ(t2) M[ ] = φ(t1) φ(t2) .
Свойство 5 при t1 = t2 = t следует из свойства 1. При t1 ≠t2 имеем
= M[ ] = M[ ]M[ ],
ввиду независимости случайных величин Х(t1) и Х(t2) при фиксированных t1 и t2. Из последней цепочки равенств и свойства 4 математического ожидания следует справедливость свойства 5.