Основные характеристики случайных процессов

В теории вероятностей случайную величину полностью характеризует закон распределения: F(x) = P(X<x), x R. Для случайного процесса определены законы распределения: F(t, x) = P(X(t) < x), t Т, x R – одномерный закон распределения слу­чайного процесса X(t) и F(t₁, …, t_n, x₁, …, x_n) = P(X(t₁) < x₁, …, X(t_n) < < x_n), t Т, x₁, …, x R, t , …, t Т – многомерный закон распределения случайного процесса X(t). Ясно, что двумерный (при n = 2) закон распределения полнее характеризует случайный процесс X(t), чем одномерный (n = 1). Более того, чем больше n, тем более полно многомерный закон характеризует случайный процесс. Однако использование закона распределения при больших n в связи с большим количеством аргументов на практике вызывает затруднения. Поэтому используют характеристики, описывающие случайные процессы частично.

Первой и важнейшей характеристикой случайного процесса X(t) является его математическое ожидание:

m (t) M [Х(t)] =  , (13)

где – одномерная функция распределения случайного процесса X(t). Другими словами, математическим ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция m_x(t), которая при любом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса.

Если X(t) – случайный процесс с дискретным состоянием, для которого при каждом t можно записать закон распределения

Х(t)	х1(t)	х2(t)	...	хi(t)	...	хn(t)
p(t)	р1(t)	р2(t)	...	рi(t)	...	рn(t)

то формула (13) примет вид

m_x(t) M[Х(t)] =  .

Если же X(t) – случайный процесс с непрерывным состоянием, т.е. существует плотность распределения случайного процесса X(t), , тогда по формуле (13) получим

m (t) M[Х(t)] =  .

Свойства математического ожидания

Пусть Ψ(t) – неслучайная функция а X(t), Y(t) – случайные процессы. Тогда имеют место следующие свойства математического ожидания.

1. M[Ψ(t)] = Ψ(t).

2. M [Ψ(t) X(t)] = Ψ(t) M[X(t)] = Ψ(t) m_x(t).

3. M [X(t) + Y(t)] = m_x(t) + m_y(t)).

4. Назовем – центрированным случайным процессом. Тогда M[ ] = 0.

Данные свойства вытекают из аналогичных свойств для случайных величин, рассмотренных в п. 1.4.

Дисперсия случайного процесса и ее свойства

Определение: D_x(t) D[Х(t)] =  – дисперсия случайного процесса X(t).

Пусть Ψ(t) – неслучайная функция, X(t) – случайный процесс. Тогда имеют место следующие свойства дисперсии случайного процесса.

1. D[Ψ(t)] = 0.

2. D[X(t) + Ψ(t)] = D_x(t).

3. D[X(t)Ψ(t)] = Ψ² (t) D_x(t).

Свойства 1–3 вытекают из соответствующих свойств для сечений X(t) и Ψ(t) в курсе теории вероятностей (см. п. 1.4).

Следствием определения дисперсии и ее свойств является следующая формула:

D_x(t) = M[(Х(t) – m_x (t))²] = M[(Х(t))²] – (m_x (t))².

Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства

Для оценки зависимости сечений случайного процесса в разные моменты времени X(t₁) и X(t₂) вводят корреляционную функцию

 = M[ ]. (14)

Если Х(t) – процесс с непрерывным состоянием, то

 = 

где – совместная плотность распределения двух сечений случайного процесса Х(t).

Таким образом, корреляционная функция – неслучайная функция двух аргументов t₁ и t₂, выражает степень линейной зависимости между двумя случайными величинами Х(t₁) и Х(t₂) (степень зависимости между сечениями одного случайного процесса X(t)).

Установим справедливость следующих свойств корреляционной функции.

1.  = D_x(t).

2.  = 

3.  =  где Y(t) = X(t)+ φ(t), φ(t) – неслучайная функция.

4.  = φ(t₁) φ(t₂) , где Y(t) = φ(t) X(t), φ(t) – неслучайная функция.

5. Пусть Х(t₁) и Х(t₂) – независимые случайные величины для каждого t₁ ≠ t₂. Тогда  = 0 при t₁ ≠ t₂,  = D_x(t) при t₁ = t₂ = t.

Доказательство начнем со свойства 1. Из (13) и (14) имеем  = M[ ] = D_x(t). Свойство 2 вытекает из (14). Для доказательства свойства 3 достаточно показать, что Это следует из следующей очевидной цепочки равенств:

 = Y(t) –  = X(t) + φ(t) – M[X(t) + φ(t)] =

= X(t)+ φ(t) – M[X(t)] – φ(t) =  .

Теперь из (14) получаем:

] = M[ ] =  .

Для доказательства свойства 4 рассмотрим . Согласно (14)  = M[ ]. С другой стороны, с учетом свойства 2 математического ожидания, имеем

 = Y(t) –  = φ(t) X(t)–M[φ(t) X(t)] = φ(t) X(t)–

– φ(t) M[X(t)] = φ(t)(X(t) – m_x(t)) = φ(t) .

Теперь согласно свойству 2 математического ожидания, получим

 = M[φ(t₁) φ( ] = 

 = φ(t₁) φ(t₂) M[ ] = φ(t₁) φ(t₂) .

Свойство 5 при t₁ = t₂ = t следует из свойства 1. При t₁ ≠t₂ имеем

 = M[ ] = M[ ]M[ ],

ввиду независимости случайных величин Х(t₁) и Х(t₂) при фиксированных t₁ и t₂. Из последней цепочки равенств и свойства 4 математического ожидания следует справедливость свойства 5.