![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •Основы работы с MathCad
- •1. Введение в численные методы. Теория погрешностей и машинная арифметика Понятие о вычислительном эксперименте
- •Классификация погрешностей
- •Элементы теории погрешностей
- •2. Теория погрешностей и машинная арифметика Погрешности арифметических действий Погрешность функции
- •Погрешности арифметических действий
- •3. Численное решение нелинейных уравнений
- •Решение нелинейных уравнений
- •4. Численное решение систем уравнений Решение систем линейных уравнений
- •Решение матричных уравнений
- •Решение систем нелинейных уравнений
- •5. Решение систем уравнений и систем уравнений MathCad Решение одного уравнения
- •Нахождение корней полинома
- •Решение систем уравнений
- •Приближенные решения
- •Символьное решение уравнений
- •6. Интерполяция функций
- •Глобальная интерполяция
- •7. Интерполяция функций Интерполяционные формулы Ньютона
- •Локальная интерполяция
- •8. Интерполяция функций Кубическая сплайн-интерполяция
- •Интерполяция средствами MathCad
- •9. Математическая обработка экспериментальных данных Элементы теории ошибок
- •Элементы теории ошибок Случайные ошибки
- •Аппроксимация в виде линейной комбинации функций
- •Полиномиальная аппроксимация в Mathcad
- •С помощью функции regress
- •11. Численное интегрирование и дифференцирование Численное интегрирование
- •Методы прямоугольников
- •Метод трапеций
- •Метод Симпсона
- •Метод Монте - Карло
- •Численное дифференцирование
- •12. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Одношаговые методы решения задачи Коши
- •Общая характеристика одношаговых методов
- •13. Решение дифференциальных уравнений в частных производных Уравнения первого порядка
- •Типы дифференциальных уравнений в частных производных
- •Уравнения первого порядка
- •Лабораторная работа
- •Варианты задания 1
- •Варианты задания 2
- •Варианты задания 3
- •Локальная интерполяция
- •Предсказание
- •Варианты заданий 4
- •Полиномиальная регрессия
- •Обобщенная регрессия
- •Варианты задания 5
- •Численное интегрирование и дифференцирование
- •Варианты задания 6
Общая характеристика одношаговых методов
1. Чтобы получить информацию в новой точке, надо иметь данные лишь в одной предыдущей точке. Это свойство можно назвать «самостартованием».
2. Все одношаговые методы не требуют действительного вычисления производных - вычисляется лишь сама функция, однако могут потребоваться ее значения в нескольких промежуточных точках. Это влечет за собой, конечно, дополнительные затраты времени и усилий.
3. Свойство «самостартования» позволяет легко менять величину шага h.
Методы прогноза и коррекции
Для
вычисления значения yi+1 используются
результаты не одного, а k предыдущих
шагов, т.е. значения
.
В этом случае получается k -
шаговый метод.
Многошаговые методы могут быть построены следующим образом. Запишем исходное уравнение (12.3) в виде:
(12.9)
Проинтегрируем обе части этого уравнения по x на отрезке (xi, xi+1). Интеграл от левой части вычисляется легко:
(12.10)
Для вычисления интеграла от правой части уравнения (12.9) строится сначала интерполяционный многочлен Pk-1(x) степени k-1 для аппроксимации функции f(x,y) на отрезке [xi, xi+1] по значениям
.
После этого можно записать
(12.11)
Приравнивая выражения, полученные в (12.10) и (12.11), можно получить формулу для определения неизвестного значения сеточной функции yi+1 в узле xi+1:
(12.12)
На
основе этой формулы можно строить
различные многошаговые методы любого
порядка точности. Порядок точности
зависит от степени интерполяционного
многочлена Pk-1(x),
для построения которого используются
значения сеточной функции
, вычисленные
на k
предыдущих шагах.
Метод Адамса
Широко распространенным семейством многошаговых методов являются методы Адамса. Простейший из них, получающийся при k=1, совпадает с рассмотренным ранее методом Эйлера первого порядка точности. В практических расчетах чаще всего используется вариант метода Адамса, имеющий четвертый порядок точности и использовавший на каждом шаге результаты предыдущих четырех. Именно его и называют обычно методом Адамса.
Пусть
найдены значения
в
четырех последовательных узлах (k=4).
При этом имеются также вычисленные
ранее значения правой части
.
В качестве интерпретации многочлена
P3 (x)можно
взять многочлен Ньютона. В случае
постоянного шага h конечные
разности в узле xi имеют
вид:
тогда разностная сумма четвертого порядка метода Адамса запишется в виде:
(12.13)
Сравнивая
метод Адамса с методом Рунге - Кутты
той же точности, отмечаем его экономичность,
поскольку он требует вычисления лишь
одного значения правой части на каждом
шаге (метод Рунге - Кутты - четырех). Но
метод Адамса неудобен тем, что невозможно
начать счет лишь по известному значению
y0.
Расчет может быть начат лишь с узла x3.
Значения
необходимые
для вычисления y3,
нужно получить каким-либо другим
способом (например, методом Рунге -
Кутты), что существенно усложняет
алгоритм. Метод Адамса не позволяет
(без усложнения формул) изменить шаг h
в процессе счета; этого недостатка
лишены одношаговые методы.