- •Введение
- •Основы работы с MathCad
- •1. Введение в численные методы. Теория погрешностей и машинная арифметика Понятие о вычислительном эксперименте
- •Классификация погрешностей
- •Элементы теории погрешностей
- •2. Теория погрешностей и машинная арифметика Погрешности арифметических действий Погрешность функции
- •Погрешности арифметических действий
- •3. Численное решение нелинейных уравнений
- •Решение нелинейных уравнений
- •4. Численное решение систем уравнений Решение систем линейных уравнений
- •Решение матричных уравнений
- •Решение систем нелинейных уравнений
- •5. Решение систем уравнений и систем уравнений MathCad Решение одного уравнения
- •Нахождение корней полинома
- •Решение систем уравнений
- •Приближенные решения
- •Символьное решение уравнений
- •6. Интерполяция функций
- •Глобальная интерполяция
- •7. Интерполяция функций Интерполяционные формулы Ньютона
- •Локальная интерполяция
- •8. Интерполяция функций Кубическая сплайн-интерполяция
- •Интерполяция средствами MathCad
- •9. Математическая обработка экспериментальных данных Элементы теории ошибок
- •Элементы теории ошибок Случайные ошибки
- •Аппроксимация в виде линейной комбинации функций
- •Полиномиальная аппроксимация в Mathcad
- •С помощью функции regress
- •11. Численное интегрирование и дифференцирование Численное интегрирование
- •Методы прямоугольников
- •Метод трапеций
- •Метод Симпсона
- •Метод Монте - Карло
- •Численное дифференцирование
- •12. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Одношаговые методы решения задачи Коши
- •Общая характеристика одношаговых методов
- •13. Решение дифференциальных уравнений в частных производных Уравнения первого порядка
- •Типы дифференциальных уравнений в частных производных
- •Уравнения первого порядка
- •Лабораторная работа
- •Варианты задания 1
- •Варианты задания 2
- •Варианты задания 3
- •Локальная интерполяция
- •Предсказание
- •Варианты заданий 4
- •Полиномиальная регрессия
- •Обобщенная регрессия
- •Варианты задания 5
- •Численное интегрирование и дифференцирование
- •Варианты задания 6
Одношаговые методы решения задачи Коши
Метод Эйлера
Это простейший метод решения задачи Коши, позволяющий интегрировать дифференциальные уравнения первого порядка. Его точность невелика, и поэтому на практике им пользуются сравнительно редко. Однако на основе этого метода легче понять алгоритм других, более эффективных методов.
Найдём приближенное решение уравнения (12.3) на отрезке [x0, b], удовлетворяющее начальному условию y=y0 при x=x0. Разделим отрезок [x0,b], точками на n равных частей (рис. 12.1).
Рис. 12.1
Обозначим ,т.е. . В этом методе заменяется приближенной формулой:
(12.5)
В результате на первом отрезке [x0, x1] искомое решение приближенно представляется формулой:
, .
Здесь x0 , y0 , h известны, следовательно, находим:
Иными словами на отрезке [x0, x1] искомая интегральная кривая (точное решение) заменяется отрезком прямой M0M1 касательной к кривой в точке M0. Тангенс угла наклона этой прямой равен f(x0, y0). Аналогично находятся остальные приближенные значения:
(12.6)
Ошибка метода имеет порядок h2.
Модифицированный метод Эйлера
Хотя тангенс угла наклона касательной к истинной кривой в исходной точке известен и равен , он известен в соответствии с изменением независимой переменной. Поэтому в точке x0 +h наклон касательной уже не таков, каким он был в точке x0. Следовательно, при сохранении шага наклона касательной на всем интервале h в результаты вычисления вносится погрешность. Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной. Это можно сделать, используя среднее значение производной в начале и в конце интервала. В модифицированном методе Эйлера сначала вычисляется значение функции в следующей точке по методу Эйлера:
,
которое используется для вычисления приближенного значения в конце интервала . Вычислив среднее между этим значением производной и её значением в начале интервала, найдем более точное значение yn+1:
(12.7)
Это соотношение описывает модифицированный метод Эйлера. Ошибка на каждом шаге при использовании этого метода, имеет порядок h3. За повышение точности приходится расплачиваться дополнительными затратами математического времени, необходимыми для вычисления .
Метод Рунге - Кутта
Существует и другие явные одношаговые методы. Наиболее распространенным из них является метод Рунге - Кутта. На его основе могут быть построены разностные схемы разного порядка точности. Приведем схему Рунге - Кутта четвертого порядка:
где
(12.8)
Таким образом, метод Рунге - Кутта требует на каждом шаге четырёхкратного вычисления правой части уравнения f(x, y). Метод Эйлера и его модифицированный вариант так же могут рассматриваться как методы Рунге - Кутта первого и второго порядков. Метод Рунге - Кутта требует большого объема вычислений, однако это окупается повышенной точностью, что даёт возможность проводить счет с большим шагом. Другими словами, для получения результатов с одинаковой точностью в методе Эйлера потребуется значительно меньший шаг, чем в методе Рунге - Кутта.