Методы прямоугольников

Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой (11.3). В качестве точек  могут выбираться левые , или правые  границы элементарных отрезков. Обозначая f(x_i), получаем формулы метода прямоугольников

                                      (11.6)

                                             (11.7)

Широко распространенным и более точным явлением вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средний точках элементарных отрезков (в полученных узлах):

,    ,   i=1, 2,…,n  (11.8)

В дальнейшем под методом прямоугольников будем понимать последний алгоритм (он еще называется методом средних).

 

Метод трапеций

Использует линейную интерполяцию, т.е. график функции y=f(x) представление в виде ломаной, соединяющий точки (x, y). В этом случае площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) складывается из площадей прямолинейных элементарных трапеций. Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

, i=1, 2,…,n.

Складывая все эти равенства, получаем формулу трапеций для численного интегрирования

                                                   (11.9)

Важным частным случаем рассмотренных формул является их применение при численном интегрировании с постоянным шагом h_i.=h=const.

Формулы прямоугольников и трапеций в этом случае принимают соответственно вид:

(11.10)

                                               (11.11)

В общем случае погрешность R_n численного значения S_n равна:

Она зависит от шага разбиения, и ее можно представить в виде .

Остаточный член:

  если h=const.

Поскольку погрешность численного интегрирования определяется шагом разбиения, то, уменьшая его, можно добиться большей точности. Но увеличивать число точек не всегда возможно. Если функция задана таблично, приходится, как правило, ограничиваться данным множеством точек. Повышение точности может быть в этом случаи достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяционных многочленов. К таким относится использование квадратичной интерполяции (метод Симпсона).

 

Метод Симпсона

Разобьем отрезок интегрирования [a; b] на четное число n равных частей с шагом h. На каждом отрезке [x₀, x₂], [x₂, x₄],…, [x_i-1, x_i+1], [x_n-2, x_n], подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным многочленом второй степени:

.

Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий равенства многочлена в точках x_i соответствующим табличным данным y_i. В качестве  можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через m.

:

Элементарная площадь S_i может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая равенства , получим:

Проведя такие вычисления для каждого отрезка [x_i-1, x_i+1], просуммируем, получим выражения:

Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:

          (11.12)

Полученное соотношение называется формулой Симпсона.