Метод Монте - Карло

Во многих задачах исходные данные носят случайный характер, поэтому для их решения должен применяться статистико-вероятностный подход. На основе таких подходов построен ряд численных методов, которые учитывают случайный характер вычисляемых или измеряемых величин. К ним принадлежит и метод статистических испытаний, называемый также методом Монте-Карло, который применяется к решению некоторых задач вычислительной математики, в том числе и для вычисления интеграла.

Пусть  - равномерно распределенная на отрезке [0, 1] случайная величина, тогда согласно методу Монте - Карло:

                                                       (11.13)

Если мы ищем интеграл на отрезке [a, b]

                                                     (11.14)

чем больше , тем выше точность подсчета интеграла.

Для использования метода Монте - Карло при вычислении определенных интегралов, необходимо  вырабатывать  последовательности  случайных  чисел  с  заданным  законом распределения. 

Численное дифференцирование

При решении практических задач часто нужно найти производную функции y=f(x), заданной таблично. Возможно также, что в силу сложности аналитического выражения функции f(x) непосредственное дифференцирование ее затруднительно. В этих случаях обычно прибегают к приближенному дифференцированию.

Для вывода формул приближенного дифференцирования заменяют данную функцию f(x) на интересующем отрезке [a, b] интерполирующей функцией P(x), а затем полагают:

                                     при                                         (11.15)

 Если для интерполирующей функции P(x) известна погрешность:

R(x)=f(x)-P(x),

то погрешность производной  выражается формулой:

                                                                             (11.16)

т.е. погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции. То же самое справедливо и для производных высших порядков.

Следует отметить, что, вообще говоря, приближенное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование. Действительно, близость друг к другу ординат двух кривых y=f(x) и Y=P(x) на отрезке [a, b]  еще не гарантирует близости на этом отрезке их производных, т.е. малого расхождения коэффициентов касательных к рассматриваемым кривым при одинаковых значениях аргумента.

12. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Инженеру постоянно приходится в своей деятельности сталкиваться с дифференциальными уравнениями. Многие задачи механики, физики, химии и других отраслей науки и техники при их математическом моделировании сводится к решению дифференциальных уравнений. Обыкновенные дифференциальные уравнения или системы таких уравнений часто используется для построения математических моделей динамических процессов, т.е. процессов перехода физических систем из одного состояния в другое, бесконечно близкое. Примерами таких процессов могут служить явления, возникающие в теплосетях, распространение радиоволн, сопротивления материалов, движение материальных точек и многое другое. Точные методы решения дифференциальных уравнений, изучаемые в курсе дифференциальных уравнений, позволяют выразить решения через элементарные или специальные формулы. Однако классы уравнений, для которых разработаны точные методы решения, довольно узки и охватывают только малую часть возникающих на практике задач. В силу этого большое значение имеют приближенные численные методы решения, ориентированные на широкий класс, встречающихся в практике дифференциальных уравнений.

 Напомним предварительно некоторые определения.

Обыкновенным дифференциальными уравнениями называют такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от исходной формулы y=f(x). Их можно записать в виде:

                                                                                              (12.1)

где x- независимая переменная.

Наивысший порядок n, входящий в уравнение (12.1) называется порядком дифференциального уравнения.

Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, линейное относительно искомой формулы и ее производных.

Решением дифференциального уравнения (12.1) называется всякая функция , которая после ее подстановки в уравнение превращает его в тождество.

Решить дифференциальное уравнение - значит найти его общий интеграл. Под общим интегралом понимается соотношение между независимой переменной, зависимой переменной и произвольными постоянными, число которых равно порядку дифференциального уравнения. Общее решение (или общий интеграл) уравнения имеет вид:

                                                                                                    (12.2)

Задача Коши

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом: пусть дано дифференциальное уравнение

    (12.3)

и начальное условие:

                                                                                                         (12.4)

Требуется найти функцию y(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.

Поскольку численное решение задачи Коши применяется в различных областях науки и техники, то оно в течение многих лет было объектом пристального внимания и число разработанных для него методов очень велико.

Остановимся здесь на двух группах методов решения задачи Коши:

1.Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой y=f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге: метод Эйлера, методы Рунге - Кутта.

2.Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскивания следующей точки кривой y=f(x) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек: метод Адамса