6) Метод простых итераций.

Метод простых итераций решения уравнения состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением и построении последовательности , сходящейся при n   к точному решению.

Рассмотрим один шаг итерационного процесса. Исходя из найденного на предыдущем шаге значения , вычисляется . Если , то принимается x_n = y и выполняется очередная итерация. Если же , то вычисления заканчиваются и за приближенное значение корня принимается величина x_n = y. Погрешность результата вычислений зависит от знака производной при погрешность определения корня составляет , а при погрешность не превышает . Здесь q - число такое, что на отрезке (a, b).

Для применения метода простых итераций определяющее значение имеет выбор функции в уравнении , эквивалентном исходному. Функцию необходимо подбирать так, чтобы . Это обусловливается тем, что если на отрезке (a, b), то последовательные приближения будут колебаться около корня c, если же , то последовательные приближения будут сходиться к корню c монотонно. Следует также помнить, что скорость сходимости последовательности {x_n} к корню c функции тем выше, чем меньше число q.

З

ависимость числа итераций от Eps.

eps	итерации
0,1	2
0,01	5
0,001	9
0,0001	13
0,00001	18
0,000001	22

Обусловленность метода при разном delta при .

delta
0,1	0,8603335890	0,9	0,039666411	0,047011931
0,01	0,8603335890	0,86	0,000333589	0,004701193
0,001	0,8603335890	0,86	0,000333589	0,000470119
0,0001	0,8603335890	0,8603	3,3589E-05	4,70119E-05
0,00001	0,8603335890	0,86033	3,589E-06	4,70119E-06
0,000001	0,8603335890	0,860334	4,11E-07	4,70119E-07

3) Сравнительная характеристика методов.

Корень уравнения, рассчитанный различными методами (Eps=0.000001).

	Бисекции	Хорд	Ньютона	Пр. итераций
X	0.860334	0.860334	0.860333	0.860334

Зависимость числа итераций от Eps для различных методов.

Eps	Бисекции	Хорд	Ньютона	Пр. итераций
0.1	2	1	1	2
0.01	5	1	2	5
0.001	8	2	3	9
0.0001	12	3	3	13
0.00001	15	4	3	18
0.000001	18	5	3	22

3. Текст программы.

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

#include <iostream.h>

extern double F(double);

double BISECT(double Left,double Right,double Eps,int &N)

{ double E = fabs(Eps)*2.0;

double FLeft = F(Left);

double FRight = F(Right);

double X = (Left+Right)/2.0;

double Y;

if (FLeft*FRight>0.0) {puts("Неверное задание интервала\n");exit(1);}

if (Eps<=0.0) {puts("Неверное задание точности\n");exit(1);}

N=0;

if (FLeft==0.0) return Left;

if (FRight==0.0) return Right;

while ((Right-Left)>=E)

{

X = 0.5*(Right + Left); /* вычисление середины отрезка */

Y = F(X);

if (Y == 0.0) return (X);

if (Y*FLeft < 0.0)

Right=X;

else

{ Left=X; FLeft=Y; }

N++;

};

return(X);

}

//------------------------------------------------------------------------

double Round (double X,double Delta)

{

if (Delta<=1E-9) {puts("Неверное задание точности округления\n");exit(1);}

if (X>0.0) return (Delta*(long((X/Delta)+0.5)));

else return (Delta*(long((X/Delta)-0.5)));

}

//-------------------------------------------------------------------------

//-------------------------- End of module --------------------------------

double c, d;

double F(double x)

{

return tan(x)-(1/x);

}

//------------------------------------------------------------------------

void main()

{

double delta, left, right,eps;

cout<<"\nВведите левую границу: ";

cin>>left;

cout<<"\nВведите правую границу: ";

cin>>right;

cout<<"\nВведите коэффициент точности вычислений: ";

cin>>eps;

cout<<"\nВведите коэффициент точности округления: ";

cin>>delta;

double x;

int k;

x=BISECT(left,right,eps,k);

x=Round(x,delta);

cout<<"\nx= "<<x;

cout<<"\nКоличество шагов при вычислении: "<<k;

}

Выводы: рассчитали корень уравнения различными методами. С точностью Eps=0.000001 x=0.860334 (методы бисекции, хорд и простых итераций), x=0.860333 (метод Ньютона).

8