Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет.
Кафедра МОЭВМ
Дисциплина «Вычислительная математика»
Отчет по лабораторным работам № 3-6
Преподаватель: Лисс А. Р.
Cтуденты гр. 2351: Баскаков Ю. Н.
Санкт-Петербург
2004
1. Постановка задачи.
Найти корень уравнения с заданной точностью методами бисекции, хорд, Ньютона и простых итераций. Исследовать обусловленность методов и зависимость числа итераций от точности результата.
2. Выполнение лабораторных работ.
1) Исследуемая функция: .
2) График функции f(x):
Графически отделили корень уравнения . Функция удовлетворяет условиям применимости методов бисекции, хорд, Ньютона и простых итераций на отрезке [0.5, 1].
3) Метод бисекции.
Если найден отрезок [a,b], такой, что (a)(b)<0, существует точка c, в которой значение функции равно нулю, т.е. (с)=0, сÎ(a,b). Метод бисекции состоит в построении последовательности вложенных друг в друга отрезков, на концах которых функция имеет разные знаки. Каждый последующий отрезок получается делением пополам предыдущего. Процесс построения последовательности отрезков позволяет найти нуль функции (корень уравнения ) с любой заданной точностью.
Рассмотрим один шаг итерационного процесса. Пусть на (n-1)-м шаге найден отрезок [an-1, bn-1][a, b], такой, что (an-1)(bn-1). Разделим его пополам точкой (an-1 +bn-1)/2 и вычислим (). Если ()=0, то =( an-1+bn-1)/2- корень уравнения. Если (), то из двух половин отрезка выбирается та, на концах которой функция имеет противоположные знаки, поскольку искомый корень лежит на этой половине, т.е.
an=an-1, bn= , если ()(an-1) < 0 ;
an=, bn= bn-1 , если ()(an-1) > 0 .
Если требуется найти корень с точностью , то деление пополам продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2. Тогда координата середины отрезка есть значение корня с требуемой точностью .
Метод бисекции является простым и надежным методом поиска простого корня уравнения (простым называется корень x=c дифференцируемой функции , если (с) и (с)). Этот метод сходится для любых непрерывных функций , в том числе недифференцируемых. Скорость его сходимости невысока. Для достижения точности необходимо совершить Nlog2(b-a)/ итераций. Это означает, что для получения каждых трех верных десятичных знаков необходимо совершить около 10 итераций.
Исходные данные для метода бисекции: левая граница интервала (a=0.5), правая граница интервала (b=1), погрешность вычисления корня уравнения (Eps).
З
eps |
итерации |
0,1 |
2 |
0,01 |
5 |
0,001 |
8 |
0,0001 |
12 |
0,00001 |
15 |
0,000001 |
18 |
Обусловленность метода при разном delta при .
delta |
||||
0,1 |
0,8603335890 |
0,9 |
0,039666411 |
0,047011931 |
0,01 |
0,8603335890 |
0,86 |
0,000333589 |
0,004701193 |
0,001 |
0,8603335890 |
0,86 |
0,000333589 |
0,000470119 |
0,0001 |
0,8603335890 |
0,8603 |
3,3589E-05 |
4,70119E-05 |
0,00001 |
0,8603335890 |
0,86033 |
3,589E-06 |
4,70119E-06 |
0,000001 |
0,8603335890 |
0,860334 |
4,11E-07 |
4,70119E-07 |
4) Метод хорд.
Метод хорд основан на пропорциональном делении отрезка. Пусть найден отрезок (a, b), на котором функция меняет знак. Для определенности примем (a) > 0, (b) < 0. В методе хорд процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к значению корня уравнения принимаются значения c0, c1, . . . , cn точек пересечения хорды с осью абсцисс, как это показано на рис.
Сначала решается уравнение хорды АВ:
Для нахождения точки пересечения ее с осью абсцисс (x = c0, y = 0) используется уравнение:
Далее сравниваются знаки величин (a) и (с0) и для рассматриваемого случая оказывается, что корень находится в интервале (a, c0), так как (a)(с0) < 0. Отрезок (c0, b) отбрасывается. Следующая итерация состоит в определении нового приближения c1 как точки пересечения хорды АВ1 с осью абсцисс и т. д. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значение (cn) не станет по модулю меньше заданного числа .
Алгоритмы методов бисекции и хорд похожи, однако метод хорд в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса, причем успех применения обоих гарантирован.
Исходные данные для метода хорд: левая граница интервала (a=0.5), правая граница интервала (b=1), погрешность вычисления корня уравнения (Eps).
З
eps |
итерации |
0,1 |
1 |
0,01 |
1 |
0,001 |
2 |
0,0001 |
3 |
0,00001 |
4 |
0,000001 |
5 |
Обусловленность метода при разном delta при .
delta |
||||
0,1 |
0,8603335890 |
0,9 |
0,039666411 |
0,047011931 |
0,01 |
0,8603335890 |
0,86 |
0,000333589 |
0,004701193 |
0,001 |
0,8603335890 |
0,86 |
0,000333589 |
0,000470119 |
0,0001 |
0,8603335890 |
0,8603 |
3,3589E-05 |
4,70119E-05 |
0,00001 |
0,8603335890 |
0,86033 |
3,589E-06 |
4,70119E-06 |
0,000001 |
0,8603335890 |
0,860334 |
4,11E-07 |
4,70119E-07 |
5) Метод Ньютона.
В случае, когда известно хорошее начальное приближение решения уравнения , эффективным методом повышения точности является метод Ньютона. Он состоит в построении итерационной последовательности сходящейся к корню уравнения .
Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию (рис). Если через точку с координатами провести касательную, то координата точки пересечения этой касательной с осью абсцисс будет очередным приближением xn +1 корня уравнения .
Для оценки погрешности n-го приближения корня предлагается пользоваться неравенством
где М2 - наибольшее значение модуля второй производной на отрезке (a, b); m1 - наименьшее значение модуля первой производной на отрезке (a, b).
Таким образом, если то Это означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т. е. процесс сходится очень быстро (имеет место квадратичная сходимость). Из указанного следует, что, при необходимости нахождения корня с точностью , итерационный процесс можно прекращать, когда соблюдается неравенство
Рассмотрим один шаг итераций. Если на (n-1)-м шаге очередное приближение xn -1 не удовлетворяет условию окончания процесса, то вычисляются величины и следующее приближение корня . При выполнении условия величина xn принимается за приближенное значение корня с, вычисленное с точностью .
Для вычисления корня уравнения по методу Ньютона необходимо знать производную функции f(x):
Исходные данные для метода Ньютона: начальное приближение корня, удовлетворяющее условию (по графику видно, что этому условию удовлетворяет =1), погрешность вычисления корня (Eps).
З
eps |
итерации |
0,1 |
1 |
0,01 |
2 |
0,001 |
3 |
0,0001 |
3 |
0,00001 |
3 |
0,000001 |
3 |
Обусловленность метода при разном delta при .
delta |
||||
0,1 |
0,8603335890 |
0,9 |
0,039666411 |
0,047011931 |
0,01 |
0,8603335890 |
0,86 |
0,000333589 |
0,004701193 |
0,001 |
0,8603335890 |
0,86 |
0,000333589 |
0,000470119 |
0,0001 |
0,8603335890 |
0,8603 |
3,3589E-05 |
4,70119E-05 |
0,00001 |
0,8603335890 |
0,86033 |
3,589E-06 |
4,70119E-06 |
0,000001 |
0,8603335890 |
0,860333 |
5,89E-07 |
4,70119E-07 |