Лекции по методам вычислений / GLAVA1

20

bYSTRYJ ROST POSTOQNNOJ lEBEGA ZASTAWLQET PREDPOLAGATX, ^TO RAWNOMERNAQ SHODIMOSTX INTERPOLQCIONNOGO PROCESSA PO RAWNOOTSTOQ]IM UZLAM IMEET MESTO LI[X DLQ UZKOGO KLASSA FUNKCIJ. dEJSTWITELXNO, KAK MOVET BYTX POKAZANO, \TOT PROCESS W SLU^AE PROMEVUTKA [¡1; 1] NE SHODITSQ RAWNOMERNO DLQ FUNKCIJ

PRI L@BOM NATURALXNOM p, HOTQ FUNKCIQ gp p ¡ 1 RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA.

wOZNIKAET WOPROS, A SU]ESTWU@T LI UZLY, DLQ KOTORYH POSTOQNNAQ lEBEGA SU]ESTWENNO MENX[E, ^EM DLQ RAWNOOTSTOQ]IH? oKAZYWAETSQ, ^TO TAKIMI UZLAMI QWLQ@TSQ UZLY ~EBY[EWA. w SLU^AE UZLOW ~EBY[EWA UDOBNEE OCENIWATX NE ¸n+1, A ¸n, TAK ^TO UZLY — KORNI POLINOMA ~EBY[EWA

Tn(x):

A FUNDAMENTALXNYE POLINOMY INTERPOLQCII IME@T WID:

pOSKOLXKU jTn0 (xk)j = n= sin µk, TO PRI x = cos µ

j cos nµj

jlk(x)j = nj cos µ ¡ cos µkj ¢ sin µk:

dOKAVEM NESKOLXKO LEMM. lEMMA 1. pRI 0 · ® · ¼=2

sin ® ¸ ¼2 ®:

d O K A Z A T E L X S T W O. oGRANI^IMSQ UKAZANIEM, ^TO \TO NERAWENSTWO OZNA^AET, ^TO DLQ PROMEVUTKA [0; ¼=2] GRAFIK FUNKCII sin x LEVIT WY[E HORDY, SOEDINQ@]EJ NA^ALO KOORDINAT S WER[INOJ SINUSOIDY. ¥

21

lEMMA 2. eSLI 0 · x < x + h · ¼, TO

cos x ¡ cos(x + h) ¸ ¼22 h2:

d O K A Z A T E L X S T W O. nA PROMEVUTKE [0; ¼ ¡ h] RASSMOTRIM FUNKCI@

'(x) = cos x ¡ cos(x + h). o^EWIDNO, ^TO '(x) > 0 I '00(x) = ¡'(x) < 0, TAK ^TO ' NE IMEET TO^EK LOKALXNOGO MINIMUMA. w TO VE WREMQ

'(0) = '(¼ ¡ h) = 1 ¡ cos h = 2 sin2 h2 ¸ 2 µ¼h ¶2 :

|TIM LEMMA DOKAZANA. ¥

lEMMA 3. jlk(x)j · 2.

d O K A Z A T E L X S T W O. pOLOVIM x = cos µ (µ 2 [0; ¼]). u^ITYWAQ, ^TO

^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX. ¥

tEOREMA 6. dLQ POSTOQNNOJ lEBEGA UZLOW ~EBY[EWA WERNA OCENKA

4

¸n · 8 + ¼ ln n:

d O K A Z A T E L X S T W O. dLQ PROIZWOLXNOJ TO^KI x = cos µ 2 [¡1; 1], S^ITAQ µm < µ < µm+1, IMEEM

fUNKCIQ sin u=(cos u ¡ cos µ) PRI 0 < u < µ WOZRASTAET. pO\TOMU

I PO LEMME 2 (PRI h = ¼=n)

S1 · ¼1 ln n2 = ¼2 ln n:

sUMMA S3 DOPUSKAET TAKU@ VE OCENKU, I DLQ ZAWER[ENIQ DOKAZATELXSTWA OSTAETSQ SLOVITX POLU^ENNYE OCENKI DLQ S1, S2 I S3. ¥

pOLU^ENNAQ OCENKA PRAWILXNO OTRAVAET HARAKTER ROSTA POSTOQNNOJ lEBEGA DLQ UZLOW ~EBY[EWA, HOTQ I NEMNOGO ZAWY[ENA. dLQ SRAWNENIQ S TABLICEJ NIVNIH OCENOK POSTOQNNYH lEBEGA DLQ RAWNOOTSTOQ]IH UZLOW (SM. WY[E) PRIWEDEM DLQ TOGO VE ^ISLA UZLOW (11, 21, 41) ZNA^ENIQ POSTOQNNYH lEBEGA UZLOW ~EBY[EWA:

¸11 = 2:489; ¸21 = 2:901; ¸41 = 3:327:

iZ \TOJ TEOREMY I TEOREMY dVEKSONA (SM. x1) LEGKO POLU^ITX, ^TO INTERPOLQCIONNYJ PROCESS PO UZLAM ~EBY[EWA RAWNOMERNO SHODITSQ DLQ

23

WSEH NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ; W DEJSTWITELXNOSTI TAKAQ SHODIMOSTX IMEET MESTO DLQ GORAZDO BOLEE [IROKOGO KLASSA FUNKCIJ.

zADA^A 1. dOKAZATX UTWERVDENIE, SODERVA]EESQ W ZAME^ANII K TEOREME 3. zADA^A 2. pOKAZATX, ^TO W SLU^AE L@BYH UZLOW PRI n ¸ 2 DLQ FUNKCII lEBEGA

WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO ¸n+1(x) ¸ 1, PRI^EM ZNAK RAWENSTWA IMEET MESTO W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI x SOWPADAET S ODNIM IZ UZLOW.

zADA^A 3. w TEH VE USLOWIQH POKAZATX, ^TO MEVDU DWUMQ SOSEDNIMI UZLAMI FUNKCIQ lEBEGA IMEET EDINSTWENNU@ TO^KU MAKSIMUMA.

zADA^A 4. dOKAZATX, ^TO PRI n ¸ 3 INTERPOLQCIONNYJ POLINOM PO UZLAM ~EBY- [EWA NA PROMEVUTKE [¡1; 1] PRIBLIVAET FUNKCI@ cos x LU^[E, ^EM OTREZOK RQDA tEJLORA TOJ VE STEPENI.

x5 |RMITOWSKAQ INTERPOLQCIQ

pUSTX NA PROMEVUTKE [a; b] ZADANY UZLY x0; : : : ; xn. pRIPI[EM KAVDOMU UZLU NEKOTOROE NATURALXNOE ^ISLO ®k — KRATNOSTX UZLA. pOLOVIM N = P®k ¡ 1. pUSTX DLQ NEKOTOROJ FUNKCII f W KAVDOM UZLE xk NAM IZWESTNY ZNA^ENIQ EE SAMOJ I EE PROIZWODNYH DO PORQDKA ®k ¡ 1 WKL@^I- TELXNO. zADA^A \RMITOWSKOJ INTERPOLQCII SOSTOIT W TOM, ^TO TREBUETSQ POSTROITX POLINOM PN 2 PN , KOTORYJ PRI k = 0; : : : ; n UDOWLETWORQL BY RAWENSTWAM

zAMETIM, ^TO ^ISLO USLOWIJ, KOTORYE MY NALOVILI NA PN , ESTX N + 1, T.E. STOLXKO VE, SKOLXKO U NEGO KO\FFICIENTOW. pO\TOMU ESLI ISKATX \TOT POLINOM S NEOPREDELENNYMI KO\FFICIENTAMI, TO USLOWIQ (1) PRIWEDUT K SISTEME (N + 1) LINEJNYH URAWNENIJ OTNOSITELXNO (N + 1) EGO KO\FFICIENTOW.

dOKAVEM ODNOZNA^NU@ RAZRE[IMOSTX POSTAWLENNOJ ZADA^I.

tEOREMA 1. kAKOWY BY NI BYLI ^ISLA bjk SU]ESTWUET I PRITOM EDINSTWENNYJ POLINOM PN 2 PN , DLQ KOTOROGO WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA

PN(j)(xk) = bjk k = 0; : : : ; n; j = 0; : : : ; ®k ¡ 1

d O K A Z A T E L X S T W O. kAK UVE OTME^ALOSX, ZADA^A POSTROENIQ TAKOGO POLINOMA SWODITSQ K RE[ENI@ SISTEMY (N + 1) LINEJNYH URAWNENIJ OTNOSITELXNO (N + 1) KO\FFICIENTOW \TOGO POLINOMA. tREBUETSQ DOKAZATX,

24

˜

^TO \TA SISTEMA ODNOZNA^NO RAZRE[IMA. pUSTX PN — POLINOM, KO\FFICIENTY KOTOROGO UDOWLETWORQ@T SOOTWETSTWU@]EJ ODNORODNOJ SISTEME URAW-

˜(j)

NENIJ. |TO OZNA^AET WYPOLNENIE RAWENSTW PN (xk) = 0 PRI k = 0; : : : ; n,

˜

j = 0; : : : ; ®k ¡ 1, T.E. xk QWLQETSQ KORNEM POLINOMA PN KRATNOSTI ®k, I S U^ETOM KRATNOSTEJ \TOT POLINOM STEPENI NE WY[E N IMEET (N +1) KORNEJ. nO TOGDA ON TOVDESTWENNO RAWEN NUL@, I RAWNY NUL@ WSE EGO KO\FFICIENTY. iTAK, NA[A ODNORODNAQ SISTEMA URAWNENIJ IMEET TOLXKO NULEWOE RE[ENIE. ¥

oTMETIM ^ASTNYJ SLU^AJ POSTAWLENNOJ ZADA^I, KOGDA IMEETSQ WSEGO LI[X ODIN UZEL x0 KRATNOSTI ®0. tOGDA N = ®0 ¡ 1 I, KAK LEGKO WIDETX, PN ESTX OTREZOK RQDA tEJLORA FUNKCII f:

PN (x) = f(x0) + (x ¡ x0)f0(x0) + ¢ ¢ ¢ + (x ¡ x0)N f(N)(x0): N!

|RMITOWSKIJ INTERPOLQCIONNYJ POLINOM MOVET BYTX PREDSTAWLEN W FORME nX@TONA. pUSTX y0; : : : ; yN — NEKOTORAQ PERESTANOWKA UZLOW x0; : : : ; xn S POWTORENIQMI, W KOTOROJ KAVDYJ UZEL xk WSTRE^AETSQ STOLXKO RAZ, KAKOWA EGO KRATNOSTX. rASPOLAGAQ ZNA^ENIQMI f(j)(xk) (k = 0; 1; : : : ; n, j = 0; 1; : : : ; ®k ¡ 1), MY IMEEM WOZMOVNOSTX WY^ISLITX RAZDELENNU@ RAZNOSTX f(y0; : : : ; yN ). sTROGO GOWORQ, KOGDA WWODILISX RAZDELENNYE RAZNOSTI S KRATNYMI UZLAMI, TREBOWALOSX, ^TOBY PROIZWODNAQ f(®k¡1) BYLA NEPRERYWNA PO MENX[EJ MERE W OKRESTNOSTI TO^KI xk, A SEJ^AS MY ZNAEM TOLXKO SU]ESTWOWANIE \TOJ PROIZWODNOJ W SAMOJ TO^KE xk. bOLEE TOGO, ESLI MY RE[AEM INTERPOLQCIONNU@ ZADA^U W POSTANOWKE TEOREMY 1, TO NIKAKOJ FUNKCII f U NAS WOOB]E NET, HOTQ ESLI S^ITATX bjk ZNA^ENIEM f(j)(xk), GDE f OBLADAET NEPRERYWNYMI NUVNYMI PROIZWODNYMI, TO f(y0; : : : ; yN ) MY MOVEM WY^ISLITX. ~TOBY RAZRE[ITX \TU KOLLIZI@, MY BUDEM S^ITATX, ^TO f(y0; : : : ; yN ) ESTX RAZDELENNAQ RAZNOSTX \RMITOWSKOGO INTERPOLQCIONNOGO POLINOMA, SU]ESTWOWANIE KOTOROGO DOKAZANO W TEOREME 1. dLQ NEGO WYPOLNQETSQ RAWENSTWO PN (y0; : : : ; yN ) = f(y0; : : : ; yN ), EcLI TOLXKO f DOSTATO^NO GLADKAQ FUNKCIQ, DLQ KOTOROJ f(j)(xk) = bjk. tAK MOVNO PONIMATX f(y0; : : : ; yN ) (I RAZDELENNYE RAZNOSTI NIZ[IH PORQDKOW) W SLEDU@]EJ TEOREME.

tEOREMA 2. pUSTX y0; y1; : : : ; yN — PROIZWOLXNAQ PERESTANOWKA UZLOW x0; : : : ; xn S POWTORENIQMI, W KOTOROJ KAVDYJ UZEL xk WSTRE^AETSQ STOLXKO

25

RAZ, KAKOWA EGO KRATNOSTX. tOGDA \RMITOWSKIJ INTERPOLQCIONNYJ POLINOM IMEET PREDSTAWLENIE

PN (x) = f(y0) + (x ¡ y0)f(y0; y1) + ¢ ¢ ¢ + (x ¡ y0) : : : (x ¡ yN¡1)f(y0; : : : ; yN ):

d O K A Z A T E L X S T W O. pOKAVEM, ^TO WYPISANNYJ POLINOM PN UDOWLETWORQET INTERPOLQCIONNYM USLOWIQM. zAMETIM, ^TO ESLI y0; : : : ; yN RAZLI^NYE UZLY I z0; : : : ; zN IH PROIZWOLXNAQ PERESTANOWKA, TO WYPOLNQETSQ RAWENSTWO

f(y0) + (x ¡ y0)f(y0; y1) + ¢ ¢ ¢ + (x ¡ y0) : : : (x ¡ yN¡1)f(y0; : : : ; yN ) = = f(z0) + (x ¡ z0)f(z0; z1) + ¢ ¢ ¢ + (x ¡ z0) : : : (x ¡ zN¡1)f(z0; : : : ; zN );

TAK KAK LEWAQ I PRAWAQ ^ASTI SOWPADA@T KAK INTERPOLQCIONNYE POLINOMY FUNKCII f, POSTROENNYE PO ODNOJ I TOJ VE SISTEME UZLOW. pOSKOLXKU RAZDELENNYE RAZNOSTI SUTX NEPRERYWNYE FUNKCII SWOIH ARGUMENTOW, TO \TO VE RAWENSTWO SOBL@DAETSQ I PRI NALI^II KRATNYH UZLOW. pO\TOMU PRI DOKAZATELXSTWE RAWENSTWA PN(j)(xk) = f(j)(xk) MY WPRAWE S^ITATX, ^TO y0 = ¢ ¢ ¢ = y®k¡1 = xk. tOGDA

PN (x) = f(xk)+(x¡xk)f(xk; xk)+¢ ¢ ¢+(x¡xk)®k¡1f(xk; : : : ; xk)+R(x) =

= f(xk) + (x ¡ xk)f0(xk) + ¢ ¢ ¢ + (x ¡ xk)®k¡1 f(®k¡1)(xk) + R(x); (®k ¡ 1)!

GDE R(x) — POLINOM, SODERVA]IJ MNOVITELX (x ¡ xk)®k . oTS@DA WIDNO, ^TO DEJSTWITELXNO PRI j · ®k ¡ 1 BUDET PN(j)(xk) = f(j)(xk). ¥

pOGRE[NOSTX \RMITOWSKOJ INTERPOLQCII MOVNO OCENIWATX, ISPOLXZUQ SLEDU@]U@ TEOREMU.

tEOREMA 3. pUSTX FUNKCIQ f N + 1 RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA NA NEKOTOROM PROMEVUTKE [a; b], SODERVA]EM WSE UZLY I TO^KU INTERPOLQCII x. tOGDA NAJDETSQ TAKAQ TO^KA » 2 (a; b), ^TO

f(x) ¡ PN (x) = (N + 1)!f(N+1)(»):

26

zDESX Ω(x) = (x ¡ x0)®0 : : : (x ¡ xn)®n — POLINOM STEPENI N + 1.

d O K A Z A T E L X S T W O. iSPOLXZUQ SWOJSTWO h5i RAZDELENNYH RAZNOSTEJ, KOTOROE, KAK UVE OTME^ALOSX, WERNO I W SLU^AE NALI^IQ KRATNYH UZLOW, DLQ UZLOW y0; : : : ; yN ; x (UZLY yj TE VE, ^TO W TEOREME 2), IMEEM

f(x) = PN (x) + Ω(x)f(y0; : : : ; yN ; x);

I OSTAETSQ WOSPOLXZOWATXSQ SWOJSTWOM h6i RAZDELENNYH RAZNOSTEJ. ¥

zADA^A 1. pOKAZATX ODNOZNA^NU@ RAZRE[IMOSTX SLEDU@]EJ INTERPOLQCIONNOJ ZADA^I: P3(xk) = ak, P300(xk) = bk (k = 0; 1).

zADA^A 2. pOKAZATX, ^TO INTERPOLQCIONNAQ ZADA^A P2(¡1) = a, P20(0) = b, P2(1) = c, WOOB]E GOWORQ, NERAZRE[IMA I NAJTI USLOWIE EE RAZRE[IMOSTI, NALOVENNOE NA ^ISLA a; b; c.

x6 ~ISLENNOE DIFFERENCIROWANIE

~ISLENNOE DIFFERENCIROWANIE— \TO PRIBLIVENNOE WY^ISLENIE PROIZWODNYH FUNKCII, ZADANNOJ TABLI^NO.

pUSTX NAM IZWESTNY ZNA^ENIQ FUNKCII f W UZLAH xj, LEVA]IH NA PROMEVUTKE [a; b]. tREBUETSQ NAJTI ZNA^ENIE PROIZWODNOJ \TOJ FUNKCII f(k)(x) W NEKOTOROJ TO^KE x, KOTORAQ MOVET I SOWPADATX S KAKIM-NIBUDX IZ UZLOW. sPOSOB RE[ENIQ — PO UZLAM, W KOTORYH IZWESTNO ZNA^ENIE FUNKCII, (ILI ^ASTI IZ NIH) STROITSQ INTERPOLQCIONNYJ POLINOM, I ZA PRIBLIVENNOE ZNA^ENIE PROIZWODNOJ W TO^KE x PRINIMAETSQ ZNA^ENIE W \TOJ TO^KE PROIZWODNOJ INTERPOLQCIONNOGO POLINOMA. eSLI DLQ INTERPOLQCII BYLI WYBRANY UZLY x0; : : : ; xn I Pn — SOOTWETSTWU@]IJ INTERPOLQCIONNYJ MNOGO^LEN, TO FORMULA ^ISLENNOGO DIFFERENCIROWANIQ:

f(k)(x) ¼ Pn(k)(x)

zAJMEMSQ OCENKOJ POGRE[NOSTI \TOJ FORMULY.

tEOREMA. pUSTX FUNKCIQ f n + 1 RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA NA PROMEVUTKE [a; b], SODERVA]EM UZLY INTERPOLQCII I TO^KU x, W KOTOROJ WY^ISLQETSQ PROIZWODNAQ. pUSTX k · n I PUSTX WYPOLNQETSQ ODNO IZ USLO-

WIJ: A) x 2= (c; d), GDE c = min xj, d = max xj, B) k = 1 I x SOWPADAET S ODNIM IZ UZLOW xj. tOGDA NAJDETSQ TAKAQ TO^KA » 2 (a; b), ^TO

f(n+1)(»)

f(k)(x) ¡ Pn(k)(x) = !(k)(x) (n + 1)! ; !(x) = (x ¡ x0) : : : (x ¡ xn):

28

dIFFERENCIROWANIE FORMULY nX@TONA - gAUSSA DAET:

sOHRANQQ W KWADRATNYH SKOBKAH WYPISANNYE ^LENY I ISPOLXZUQ W SLU^AE PERWOJ PROIZWODNOJ TEOREMU O PREDSTAWLENII OSTATO^NOGO ^LENA, IMEEM

iNTERESNO SRAWNITX FORMULU (2) S PERWOJ IZ FORMUL (1). w PRAWYH ^ASTQH TOJ I DRUGOJ ISPOLXZU@TSQ DWA ZNA^ENIQ FUNKCII f, NO FORMULA (2) IMEET WTOROJ PORQDOK TO^NOSTI OTNOSITELXNO h, A PERWAQ IZ FORMUL (1) LI[X PERWYJ.

uSLOWIQ TEOREMY OB OSTATO^NOM ^LENE NE WYPOLNENY W SLU^AE FORMULY (3), I DLQ POLU^ENIQ PREDSTAWLENIQ OSTATKA W \TOM SLU^AE MY ISPOLXZUEM DRUGOJ PRIEM. pREDPOLAGAQ FUNKCI@ f ^ETYREVDY NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ, NAPI[EM DLQ NEE FORMULY tEJLORA, W KOTORYH ZNA^E- NIQ WSEH PROIZWODNYH, KROME POSLEDNIH, WY^ISLQ@TSQ W TO^KE x0:

wY^ITAQ IZ SUMMY \TIH RAZLOVENIJ 2f0 I PODELIW NA h2, PRIDEM K RAWENSTWU

29

zAMETIW, ^TO MEVDU TO^KAMI »1 I »2 NAJDETSQ TAKAQ TO^KA », ^TO f(IV )(»1)+ f(IV )(»2) = 2f(IV )(»), OKON^ATELXNO POLU^IM:

oSTANOWIMSQ TEPERX NA WLIQNII O[IBOK, DOPU]ENNYH W ZNA^ENIQH FUNKCII, NA POLU^ENNYE W REZULXTATE ^ISLENNOGO DIFFERENCIROWANIQ REZULXTATY NA PRIMERE FORMULY (2).

eSLI DLQ OKRESTNOSTI TO^KI x0 NAM IZWESTNA OCENKA jf000(x)j · M I IZWESTNO, ^TO PRI ISPOLXZOWANII FORMULY (2) POGRE[NOSTI W ZNA^ENIQH f NE PREWOSHODQT NEKOTOROGO ", TO SUMMARNAQ POGRE[NOSTX W ZNA^ENII f0(x0) OCENIWAETSQ WELI^INOJ "=h + Mh2=6. pRI MALYH h WLIQNIE O[IBOK W ZNA^ENIQH FUNKCII OKAZYWAETSQ ^REZWY^AJNO BOLX[IM. eSLI U NAS ESTX WOZMOVNOSTX WYBORA [AGA h, TO CELESOOBRAZNO NAHODITX EGO IZ USLOWIQ MINIMUMA PRIWEDENNOJ OCENKI POGRE[NOSTI. tAKIM OBRAZOM NAM SLEDUET NAJTI TO^KU MINIMUMA FUNKCII '(h) = "=h + Mh2=6. pRIRAWNIWAQ NUL@ PROIZWODNU@ \TOJ FUNKCII, LEGKO NAHODIM \TU TO^KU I OCENKU E POGRE[-

zAMETIM, ^TO PRINCIPIALXNO NEWOZMOVNO POLU^ITX ZNA^ENIE PROIZWODNOJ S POGRE[NOSTX@ TOGO VE PORQDKA, ^TO W ZNA^ENIQH FUNKCII.

zADA^A 1. dIFFERENCIROWANIEM LINEJNOGO INTERPOLQCIONNOGO POLINOMA LEGKO POLU^AETSQ FORMULA

zADA^A 2. pOKAZATX, ^TO PRI x0 < x < x0 + h NAJDETSQ TAKAQ FUNKCIQ f 2 C(2), DLQ KOTOROJ NE SU]ESTWUET TAKOJ TO^KI » 2 (x0; x0 + h), ^TO W FORMULE (5)

R(f; x) = !0(x) f00(»); !(x) = (x ¡ x0)(x ¡ x0 ¡ h):

2!