Лекции по методам вычислений / GLAVA2

gLAWA 2 pRIBLIVENNOE WY^ISLENIE INTEGRALOW

x1 iNTERPOLQCIONNYE KWADRATURNYE FORMULY (ikf)

oSNOWNOJ SPOSOB PRIBLIVENNOGO WY^ISLENIQ INTEGRALOW — FORMULY MEHANI^ESKIH KWADRATUR.

oPREDELENIE. fORMULOJ MEHANI^ESKIH KWADRATUR ILI KWAD-

RATURNOJ FORMULOJ NAZYWAETSQ PRIBLIVENNAQ FORMULA

ak=1

zDESX UZLY xk I KO\FFICIENTY (WESA) Ak NE ZAWISQT OT INTEGRIRUEMOJ FUNKCII (FORMULA — NABOR UZLOW I KO\FFICIENTOW).

wSE UZLY S^ITA@TSQ RAZLI^NYMI, I ^A]E WSEGO xk 2 [a; b], NO DELATX TAKOE PREDPOLOVENIE, ESLI NE OGOWORENO PROTIWNOE, MY NE BUDEM.

bOLEE OB]EE PONQTIE — FORMULA MEHANI^ESKIH KWADRATUR S WESOM w(x). |TO

ak=1

pRIMENENIQ — MNOGO INTEGRALOW OT FUNKCIJ S ODNIM MNOVITELEM w(x) I WYDELENIE STANDARTNYH OSOBENNOSTEJ. fORMULU (1) MOVNO S^ITATX ^ASTNYM SLU^AEM (2) PRI w(x) ´ 1. pO\TOMU W \TOM PARAGRAFE RASSMATRIWAETSQ (2).

bUDEM OBOZNA^ATX KWADRATURNU@ SUMMU FORMULY (2) ^EREZ Qn(f), A POGRE[NOSTX FORMULY (OSTATOK) ^EREZ Rn(f):

Xn Z b

Qn(f) = Akf(xk); Rn(f) = w(x)f(x)dx ¡ Qn(f):

k=1 a

zAMETIM, ^TO Qn I Rn OBLADA@T SWOJSTWOM LINEJNOSTI:

Qn(a1f1 + a2f2) = a1Qn(f1) + a2Qn(f2) 29

30

Rn(a1f1 + a2f2) = a1Rn(f1) + a2Rn(f2):

pROSTEJ[IJ SPOSOB POSTROENIQ (2): PROIZWOLXNO WYBIRA@TSQ UZLY I ZNA^ENIE INTEGRALA S^ITAETSQ PRIBLIVENNO RAWNYM INTEGRALU OT INTERPOLQCIONNOGO POLINOMA FUNKCII f, POSTROENNOGO PO \TIM UZLAM. tAK POLU^ENNYE FORMULY NAZYWA@TSQ INTERPOLQCIONNOKWADRATURNYMI (ikf).

oPREDELENIE. fORMULA (2) NAZYWAETSQ ikf, ESLI

zDESX !(x) = (x ¡ x1) : : : (x ¡ xn).

tAKIM OBRAZOM, ikf POLNOSTX@ ZADAETSQ UKAZANIEM EE UZLOW.

oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO FORMULA (2) IMEET ALGEBRAI^E- SKU@ STEPENX TO^NOSTI (ast) d, ESLI ONA TO^NA DLQ WSEH ALGEBRAI- ^ESKIH POLINOMOW pd 2 Pd (Rn(pd) = 0) I SU]ESTWUET HOTQ BY ODIN POLINOM pd+1 2 Pd+1, DLQ KOTOROGO ONA NE TO^NA (Rn(pd+1) 6= 0).

z A M E ^ A N I E. o^EWIDNO, ^TO DLQ TOGO ^TOBY (2) IMELA ast d, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY ONA BYLA TO^NA DLQ xj PRI j =

0; : : : ; d I NE BYLA TO^NA DLQ xd+1 (Rn(xk) = 0 PRI k = 0; : : : ; d,

Rn(xd+1) =6 0) .

tEOREMA 1. dLQ TOGO ^TOBY FORMULA (2) BYLA ikf NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY ONA IMELA ast d ¸ n ¡ 1.

d O K A Z A T E L X S T W O. 1) nEOBHODIMOSTX. pROIZWOLXNO WZQTYJ POLINOM pd PREDSTAWIM W WIDE INTERPOLQCIONNOGO PO UZLAM xk I WOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ (3).

2) dOSTATO^NOSTX. eSLI ast FORMULY (2) d ¸ n ¡ 1, TO ONA TO^NA, W ^ASTNOSTI, DLQ lk(x), OTKUDA FORMULY (3). ¥

z A M E ^ A N I E. fORMULA (2) MOVET IMETX ast d > n ¡ 1, NO ESLI WES w(x) SOHRANQET NA [a; b] ZNAK, TO d · 2n ¡ 1 (FORMULA NE TO^NA DLQ !2(x)).

oBOZNA^IM ^EREZ [A; B] NAIMENX[IJ PROMEVUTOK, SODERVA]IJ [a; b] I WSE UZLY xk.

31

oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO fmk IMEET PREDSTAWLENIE OSTATKA W FORME lAGRANVA, ESLI SU]ESTWU@T TAKOE NATURALXNOE m I TAKAQ POSTOQNNAQ C, ^TO DLQ L@BOJ m RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ NA [A; B] FUNKCII f(x) NAJDETSQ TAKAQ TO^KA » 2 [A; B],

^TO Rn(f) = Cf(m)(»):

z A M E ^ A N I E . fmk MOVET I NE IMETX PREDSTAWLENIQ OSTATKA W FORME lAGRANVA.

tEOREMA 2. eSLI fmk IMEET PREDSTAWLENIE OSTATKA W FORME lAGRANVA, TO m = d + 1.

d O K A Z A T E L X S T W O O^EWIDNO.

tEOREMA 3. eSLI ast FORMULY (2) ESTX d, TO DLQ L@BOJ f 2 C[A; B] WYPOLNQETSQ OCENKA

GDE Ed(f) — NAILU^[EE PRIBLIVENIE FUNKCII f POLINOMAMI STEPENI d NA PROMEVUTKE [A; B].

d O K A Z A T E L X S T W O. wY^ESTX IZ f I PRIBAWITX EE POLINOM NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ, DLQ KOTOROGO FORMULA TO^NA. ¥

bUDEM S^ITATX, ^TO DANA POSLEDOWATELXNOSTX KWADRATURNYH FORMUL

ak=1

(KWADRATURNYJ PROCESS). ast FORMULY S NOMEROM n S^ITAEM RAWNOJ dn I SOHRANIM DLQ \TIH FORMUL OBOZNA^ENIQ Qn(f) I Rn(f).

32

z A M E ^ A N I E. eSLI d ¸ 0, TO WWIDU RAWENSTWA

W SLU^AE w(x) ¸ 0 I Ank > 0 OCENKU (4) MOVNO PEREPISATX W WIDE

Z b

jRn(f)j · 2 w(x)dx Ed(f):

a

pUSTX w(x) ¸ 0. eSLI SREDI KO\FFICIENTOW Ak ESTX OTRICATELXNYE, TO

XZ b

jAkj > w(x)dx;

a

I OCENKA (4) HUVE, ^EM W SLU^AE POLOVITELXNYH KO\FFICIENTOW. oTS@DA — TREBOWANIE POLOVITELXNOSTI KO\FFICIENTOW. |TO SU]E- STWENNO E]E W ODNOM OTNO[ENII. eSLI ZNA^ENIQ f(xk) MY WY^ISLQEM S POGRE[NOSTQMI "k, PRO KOTORYE IZWESTNO LI[X, ^TO j"kj · ", TO WYZWANNAQ \TIMI POGRE[NOSTQMI O[IBKA W KWADRATURNOJ SUMME OCENIWAETSQ ^EREZ Pnk=0 jAkj", PRI^EM \TA OCENKA NEULU^[AEMA. fORMULAMI, U KOTORYH SREDI KO\FFICIENTOW IME@TSQ OTRICATELXNYE, OBY^NO NE POLXZU@TSQ.

zADA^A 1. pUSTX ast FORMULY (2) ESTX d. nAJDETSQ LI POLINOM pd+2 STEPENI d + 2, DLQ KOTOROGO ONA TO^NA?

zADA^A 2. pUSTX w(x) ¸ 0 I k UZLOW FORMULY (2) PRINADLEVAT (a; b), A OSTALXNYE LEVAT WNE \TOGO PROMEVUTKA. pOKAZATX, ^TO TOGDA ast d · n + k ¡ 1.

zADA^A 3. pOKAZATX, ^TO KWADRATURNAQ FORMULA

Z 1

f(x)dx ¼ f(a);

0

GDE a 2 (0; 1) I a =6 1=2, NE IMEET PREDSTAWLENIQ OSTATKA W FORME lAGRANVA.

x2 kWADRATURNYE FORMULY S POSTOQNNYM WESOM. fORMULY kOTESA

34

pREDYDU]EE SWOJSTWO POZWOLQET DOKAZYWATX \TO LI[X DLQ PROMEVUTKA [¡1; 1], A W \TOM SLU^AE DOSTATO^NO SOSLATXSQ NA O^E- WIDNOE RAWENSTWO DLQ FUNDAMENTALXNYH POLINOMOW INTERPOLQCII W SLU^AE SIMMETRI^NO RASPOLOVENNYH UZLOW: lk(x) = ln+1¡k(¡x).

h6i eSLI UZLY ikf RASPOLOVENY SIMMETRI^NO, TO EE ast ESTX NE^ETNOE ^ISLO.

dEJSTWITELXNO, SWODQ ZADA^U OPQTX K SLU^A@ PROMEVUTKA [¡1; 1] I ISPOLXZUQ PREDYDU]EE SWOJSTWO, LEGKO ZAMETITX, ^TO NA[A FORMULA TO^NA DLQ WSEH NE^ETNYH POLINOMOW.

h7i eSLI fmk (1) IMEET PREDSTAWLENIE OSTATKA W FORME lAGRANVA: Rn1 (f) = C1f(m)(»), TO I (2) IMEET TAKOE PREDSTAWLENIE:

Rn2 (g) = C2g(m)(´), GDE

GDE ´ = bd¡¡ac (» ¡ a) + c.

h8i eSLI ast PODOBNYH FORMUL (1) I (2) ESTX ¹ I Rn1 (x¹+1) = r,

(d ¡ c)¹+2Rn1 (x¹+1):

35

pREVDE ^EM PEREHODITX K KONKRETNYM fmk S POSTOQNNYM WESOM, DOKAVEM LEMMU, KOTORAQ POLEZNA PRI WYWODE PREDSTAWLENIQ OSTATO^NYH ^LENOW.

lEMMA. pUSTX q(x) – INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ, PRI^EM q(x) ¸ 0, FUNKCIQ g(x) NEPRERYWNA NA [a; b] I »(x) – PROIZWOLXNOE (BEZ KAKIH-LIBO PREDPOLOVENIJ O NEPRERYWNOSTI) OTOBRAVENIE PROMEVUTKA [a; b] W SEBQ. eSLI NAPISANNYJ NIVE INTEGRAL I SU]ESTWUET, TO NAJDETSQ TAKAQ TO^KA ´ 2 [a; b], ^TO

d O K A Z A T E L X S T W O. pOLOVIM M = max g(x), m = min g(x).

bUDU^I NEPRERYWNOJ, FUNKCIQ g PRINIMAET W NEKOTOROJ TO^KE ´ ZNA- ^ENIE, RAWNOE G. ¥

fORMULOJ SREDNIH PRQMOUGOLXNIKOW NAZYWAETSQ ikf S EDIN-

iZ SAMOGO OPREDELENIQ WIDNO, ^TO FORMULY SREDNIH PRQMOUGOLXNIKOW DLQ WSEH PROMEVUTKOW PODOBNY. lEGKO WIDETX, ^TO ast \TIH FORMUL d ¸ 1 (ONI TO^NY DLQ POSTOQNNYH, QWLQ@TSQ ikf I “UZEL RASPOLOVEN SIMMETRI^NO”). pREDSTAWLENIE OSTATKA POLU^IM SNA^A-

sOGLASNO SWOJSTWU h7i W SLU^AE PROMEVUTKA [a; b] OSTATO^NYJ ^LEN

(4) IMEET PREDSTAWLENIE R(f) = (b¡a)3 f00(´). oTS@DA SLEDUET, ^TO

24

ast FORMULY PRQMOUGOLXNIKOW ESTX 1.

36

fORMULAMI kOTESA NAZYWA@TSQ ikf, UZLAMI KOTORYH QWLQ- @TSQ KONCY PROMEVUTKA INTEGRIROWANIQ I TO^KI DELENIQ PROMEVUTKA NA (n ¡ 1) RAWNYH ^ASTEJ (^ISLO UZLOW n). fORMULA POLNOSTX@ OPREDELQETSQ PROMEVUTKOM I ^ISLOM UZLOW. wSE FORMULY kOTESA S ODNIM ^ISLOM UZLOW PODOBNY. dLQ ast d SOGLASNO TEOREME 1 IZ x1 I SWOJSTWU h6i POLU^A@TSQ OCENKI: PRI ^ETNOM n d ¸ n ¡ 1, PRI NE^ETNOM — d ¸ n. w DEJSTWITELXNOSTI W \TIH NERAWENSTWAH MOVNO POSTAWITX ZNAK RAWENSTWA (BEZ DOKAZATELXSTWA).

oBRATIMSQ K ^ASTNYM SLU^AQM FORMUL kOTESA. nA^NEM S n = 2. uZLY \TOJ FORMULY — a I b, I POSKOLXKU KO\FFICIENTY RAWNY (h5i) I W SUMME DA@T b ¡ a, TO SAMA ONA IMEET WID

I WWIDU O^EWIDNOGO GEOMETRI^ESKOGO SMYSLA NAZYWAETSQ FORMULOJ TRAPECIJ. pREDSTAWLENIE OSTATKA \TOJ FORMULY POLU^IM SNA^ALA DLQ [0; 1]. dLQ f 2 C(2)[0; 1], ISPOLXZUQ TEOREMU O PREDSTAWLENII OSTATO^NOGO ^LENA INTERPOLQCII, IMEEM

f(x) = P1(x) ¡ x(1 ¡ x)f00(»)=2;

GDE P1 — INTERPOLQCIONNYJ POLINOM FUNKCII f, POSTROENNYJ PO UZLAM 0 I 1. pO\TOMU, OPQTX ISPOLXZUQ LEMMU I RAWENSTWO

37

|TIM, W ^ASTNOSTI, DOKAZANO RAWENSTWO d = 1 DLQ FORMULY TRAPECIJ. pRI n = 3 FORMULA kOTESA NAZYWAETSQ FORMULOJ sIMPSONA. pOSTROIM EE SNA^ALA DLQ PROMEVUTKA [¡1; 1]. w \TOM SLU^AE UZLY FORMULY -1, 0 I 1, A KO\FFICIENTY UDOWLETWORQ@T RAWENSTWAM: A1 =

A3, A1 + A2 + A3 = 2. pOSKOLXKU

TO A1 = A3 = 1=3 I DLQ PROIZWOLXNOGO PROMEVUTKA FORMULA sIMPSONA WYGLQDIT TAK:

POLINOM P3(x) PO UZLAM -1 I 1 PERWOJ KRATNOSTI I 0 — WTOROJ. tOGDA

|TIM DOKAZANO I RAWENSTWO d = 3 DLQ FORMULY sIMPSONA.

38

pRIWEDEM E]E BEZ WYWODA FORMULU kOTESA PRI n = 4, NAZYWA-

nA^INAQ S n = 9 SREDI KO\FFICIENTOW FORMUL kOTESA POQWLQ- @TSQ OTRICATELXNYE, I PRI n ! 1 SUMMA ABSOL@TNYH WELI^IN KO\F- FICIENTOW BYSTRO STREMITSQ K BESKONE^NOSTI. pO\TOMU PRI BOLX[IH n FORMULY kOTESA NE NAHODQT PRIMENENIQ.

zADA^A. pOKAZATX, ^TO ESLI ikf IMEET ast, RAWNU@ n ¡ 1 (n — ^ISLO UZLOW) I IMEET PREDSTAWLENIE OSTATKA W FORME lAGRANVA, TO W \TOM PREDSTAWLENII

x3 sOSTAWNYE FORMULY

rASSMATRIWAETSQ SITUACIQ, KOGDA DLQ WY^ISLENIQ INTEGRALA

UZLY KOTOROJ PRINADLEVAT PROMEVUTKU INTEGRIROWANIQ: xj 2 [0; 1], NO FORMULA, PODOBNAQ (2), NE DAET NUVNOJ TO^NOSTI. tOGDA MOVNO RAZBITX PROMEVUTOK [a; b] NA N RAWNYH ^ASTEJ I K INTEGRALU PO KAVDOJ ^ASTI PRIMENITX FORMULU, PODOBNU@ (2). |TO PRIWODIT NAS K FORMULE

k=0 j=1