Лекции по методам вычислений / GLAVA2

39

GDE h = (b ¡ a)=N, yk = a + kh. fORMULA (3) NAZYWAETSQ SOSTAWNOJ ILI BOLX[OJ, A FORMULA (2) PO OTNO[ENI@ K NEJ ISHODNOJ. sOSTAWNAQ FORMULA SODERVIT Nn UZLOW, ESLI HOTQ BY ODNA IZ TO^EK 0, 1 NE QWLQETSQ UZLOM DLQ FORMULY (2), I N(n ¡ 1) + 1 UZEL W PROTIWNOM SLU^AE.

oSNOWNYE SWOJSTWA SOSTAWNYH FORMUL.

h1i oSTATOK RN (f) FORMULY (3) PREDSTAWIM W WIDE

MENX[E, ^EM FORMULY (2). oBRATNOE NEMEDLENNO WYTEKAET IZ PREDYDU]EGO SWOJSTWA. ¥

h4i. eSLI FORMULA (2) IMEET PREDSTAWLENIE OSTATKA W FORME

lAGRANVA:

R(g) = Cg(m)(»);

TO I (3) IMEET TAKOE PREDSTAWLENIE:

RN (f) = CN f(m)(´);

GDE

CN = C(b ¡ a)hm:

d O K A Z A T E L X S T W O. pRIMENQQ SWOJSTWO h7i PODOBNYH FORMUL, IMEEM

RNk (f) =hm+1Cf(m)(´k); ´k 2 (yk; yk+1); RN (f) =hm+1C NX¡1 f(m)(´k);

k=0

40

I TAK KAK NAJDETSQ TAKAQ TO^KA ´, ^TO PN¡1 f(m)(´k) = Nf(m)(´),

k=0

(ISPOLXZUETSQ NEPRERYWNOSTX FUNKCII f(m)) I Nh = b ¡ a, TO \TIM SWOJSTWO DOKAZANO. ¥

dALEE RASSMATRIWAETSQ POSLEDOWATELXNOSTX SOSTAWNYH FORMUL: ISHODNAQ FORMULA S^ITAETSQ FIKSIROWANNOJ, A N ! 1.

h5i. dLQ TOGO ^TOBY DLQ L@BOJ NEPRERYWNOJ FUNKCII f POSLEDOWATELXNOSTX KWADRATURNYH SUMM SHODILASX K INTEGRALU (T.E.

kAVDAQ WNUTRENNQQ SUMMA ZDESX ESTX SUMMA rIMANA DLQ RASSMATRIWAEMOGO INTEGRALA I POTOMU PRI N ! 1 K NEMU SHODITSQ. oSTAETSQ WOSPOLXZOWATXSQ TEM, ^TO PAj = 1.

2) nEOBHODIMOSTX. dLQ FUNKCII f(x) ´ 1 IMEEM

WATELXNOSTX KWADRATURNYH FORMUL (3) SHODITSQ S PORQDKOM m, ESLI NAJDETSQ TAKAQ POSTOQNNAQ C, ^TO PRI WSEH N jRN (f)j · Chm.

h6i. dLQ TOGO ^TOBY DLQ L@BOJ m RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII f (f 2 C(m)) POSLEDOWATELXNOSTX (3) SHODILASX S PORQDKOM m, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO ^TOBY DLQ ast ISHODNOJ FORMULY d WYPOLNQLOSX NERAWENSTWO d ¸ m ¡ 1.

P1|TO MOVET BYTX WYRAVENO TAKVE SLOWAMI: ast FORMULY (2) ¸ 0 ILI

Aj = 1.

41

d O K A Z A T E L X S T W O2. 1. dOSTATO^NOSTX. pUSTX f 2 C(m) PRO-

IZWOLXNA, d ¸ m ¡ 1. pOLOVIM M = max[a;b] jf(m)(x)j I NA KAVDOM PROMEVUTKE [yk; yk+1] ZAPI[EM f(x) PO FORMULE tEJLORA:

zDESX pm¡1 2 Pm¡1 µ Pd, PRI^EM

kf ¡ pm¡1kC[yk;yk+1] · mM!hm;

TAK ^TO I NAILU^[EE PRIBLIVENIE FUNKCII f POLINOMAMI STEPENI NE WY[E d NA PROMEVUTKE [yk; yk+1] UDOWLETWORQET NERAWENSTWU

Ed(f; [yk; yk+1]) · mM!hm:

iSPOLXZUQ OCENKU OSTATKA KWADRATURNOJ FORMULY ^EREZ NAILU^[EE PRIBLIVENIE (TEOREMA 3 IZ x1), TEPERX IMEEM

CUMMIRUQ WSE \TI OCENKI: RN (f) · Chm, GDE C = M(b ¡ a)[1 +

PjAjj]=m!.

2. nEOBHODIMOSTX. sOGLASNO SWOJSTWU h2i OSTATOK RN (f) DLQ FUNKCII f(x) = xd+1 ESTX (b¡a)hd+1r I W SLU^AE d < m¡1 OKAVETSQ

RN (f)=hm ! 1 ¥

kAK WIDNO IZ DOKAZATELXSTWA, W ^ASTI NEOBHODIMOSTI \TO UTWERVDENIE DOPUSKAET USILENIE: SLOWA “DLQ L@BOJ m RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII” MOVNO ZAMENITX NA “DLQ L@BOGO POLINOMA”.

2eSLI ISHODNAQ FORMULA IMEET PREDSTAWLENIE OSTATKA W FORME lAGRANVA, TO SWOJSTWO h6i LEGKO SLEDUET IZ \TOGO PREDSTAWLENIQ.

42

nAIBOLEE UPOTREBITELXNYMI QWLQ@TSQ SOSTAWNYE FORMULY SREDNIH PRQMOUGOLXNIKOW, TRAPECIJ I sIMPSONA. wYPI[EM \TI FORMULY. pRI \TOM PREDSTAWLENIE OSTATO^NOGO ^LENA SRAZU VE POLU^A- ETSQ IZ PREDSTAWLENIQ OSTATO^NOGO ^LENA ISHODNOJ FORMULY PRIMENENIEM SWOJSTWA h4i. kONE^NO, PRIWODIMYE FORMULY DLQ OSTATKA WERNY LI[X W TOM SLU^AE, ESLI PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ NUVNOE ^ISLO RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA.

sOSTAWNAQ FORMULA SREDNIH PRQMOUGOLXNIKOW:

zADA^A. pOKAZATX, ^TO SWOJSTWA h3i I h4i SOSTAWNYH FORMUL (WTOROE IZ NIH S IZMENENIEM PREDSTAWLENIQ DLQ CN ) SOHRANQ@TSQ I W TOM SLU^AE, ESLI SOSTAWNAQ FORMULA STROITSQ NA OSNOWE NERAWNOMERNOGO RAZBIENIQ OTREZKA [a; b] NA ^ASTI.

43

x4 kWADRATURNYE FORMULY GAUSSOWA TIPA

wERNEMSQ K RASSMOTRENI@ FORMUL S WESOM w(x). nA WSEM PROTQVENII PARAGRAFA FUNKCI@ w BUDEM S^ITATX SUMMIRUEMOJ, NEOTRICATELXNOJ I OTLI^NOJ OT NULQ NA MNOVESTWE POLOVITELXNOJ MERY. kWADRATURNAQ FORMULA S n UZLAMI SODERVIT 2n PARAMETROW — KROME UZLOW E]E I KO\FFICIENTY. tREBOWANIE, ^TOBY EE ast BYLA NE NIVE d, NALAGAET NA \TI PARAMETRY d + 1 USLOWIE (TO^NOSTX DLQ xj, j = 0; : : : ; d). pO\TOMU MOVNO RASS^ITYWATX NA SU]ESTWOWANIE KWADRATURNOJ FORMULY S n UZLAMI I ast 2n ¡ 1. o TAKIH FORMULAH I IDET RE^X W \TOM PARAGRAFE. nO SNA^ALA NEKOTORYE WSPOMOGATELXNYE SWEDENIQ.

dLQ POLINOMOW f; g OPREDELIM SKALQRNOE PROIZWEDENIE:

Z b

(f; g) = w(x)f(x)g(x)dx:

a

oNO OBLADAET OBY^NYMI SWOJSTWAMI SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ: 1) LINEJNOSTX PO KAVDOMU ARGUMENTU, 2) (g; f) = (f; g), 3) (f; f) ¸ 0, I (f; f) = 0 TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA f(x) ´ 0. pOLINOMY f I g NAZOWEM ORTOGONALXNYMI, ESLI (f; g) = 0. eSLI f ORTOGONALEN g1 I g2, TO ON ORTOGONALEN I ®1g1 + ®2g2.

oTMETIM O^EWIDNYJ FAKT: ESLI qk — POLINOMY STEPENI W

tEOREMA 1. sU]ESTWUET I PRITOM EDINSTWENNYJ S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO MNOVITELQ POLINOM !n(x), ORTOGONALXNYJ WSEM qn¡1 2 Pn¡1. pOLINOMY !n NAZYWA@TSQ ORTOGONALXNYMI POLINOMAMI.

d O K A Z A T E L X S T W O. pOLOVIM !0 = 1.

1) sU]ESTWOWANIE. mETOD INDUKCII. pRI n = 1 DOSTATO^NO

POLOVITX !1 = x ¡ a, GDE a = (x; 1)=(1; 1). pUSTX DLQ k = 1; : : : ; n ¡ 1 SU]ESTWOWANIE !k UVE DOKAZANO. pOLINOM

!n(x) = xn ¡ an¡1!n¡1(x) ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ a0!0(x); ak = (xn; !k)=(!k; !k);

ORTOGONALEN POLINOMAM !k, A ZNA^IT, I WSEM qn¡1 2 Pn¡1.

44

2) eDINSTWENNOSTX. oT PROTIWNOGO. pUSTX !n I !n0 — DWA ORTOGONALXNYH POLINOMA SO STAR[IMI KO\FFICIENTAMI an I a0n. tOGDA !n=an ¡ !n0 =a0n — MNOGO^LEN STEPENI NE WY[E n ¡ 1, ORTOGONALXNYJ SAM SEBE I POTOMU TOVDESTWENNO RAWNYJ NUL@, TAK ^TO

!n0 = (a0n=an)!n. ¥

tEOREMA 2. wSE KORNI ORTOGONALXNOGO MNOGO^LENA !n(x) WE- ]ESTWENNY, RAZLI^NY I PRINADLEVAT (a; b).

d O K A Z A T E L X S T W O. uBEDIMSQ, ^TO !n IMEET NA (a; b) n TO- ^EK PEREMENY ZNAKA. pUSTX IH m < n I \TO x1; : : : ; xm. tOGDA POLO-

VIM qm(x) = (x ¡ x1) : : : (x ¡ xm) 2 Pn¡1. fUNKCIQ w(x)!(x)qm(x)

SOHRANQET NA (a; b) ZNAK, I POTOMU (!n; qm) =6 0, ^TO PROTIWORE^IT ORTOGONALXNOSTI. ¥

tEOREMA 3. dLQ TOGO ^TOBY KWADRATURNAQ FORMULA

ak=1

IMELA ast 2n ¡ 1, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO:

1)(1) ESTX ikf,

2)UZLY xk SUTX KORNI ORTOGONALXNOGO POLINOMA !n.

d O K A Z A T E L X S T W O. 1) nEOBHODIMOSTX PERWOGO USLOWIQ SLEDUET IZ TEOREMY OB ast ikf. dOKAVEM NEOBHODIMOSTX WTOROGO. pUSTX

(1) TO^NA DLQ WSEH p 2 P2n¡1. pOLOVIM !n(x) = (x ¡ x1) : : : (x ¡ xn) I PUSTX qn¡1 2 Pn¡1 PROIZWOLEN. tOGDA !nqn¡1 2 P2n¡1 I POTOMU

Xn

(!n; qn¡1) = Ak!n(xk)qn¡1(xk) = 0;

k=1

TAK ^TO !n — ORTOGONALXNYJ POLINOM.

2) dOSTATO^NOSTX. pUSTX WYPOLNENY USLOWIQ 1) I 2). pOKAVEM, ^TO (1) TO^NA DLQ WSEH POLINOMOW STEPENI 2n ¡ 1. wOZXMEM L@BOJ TAKOJ POLINOM P2n¡1(x) I PO UZLAM xk POSTROIM DLQ NEGO INTER-

POLQCIONNYJ POLINOM rn¡1 2 Pn¡1, TAK ^TO rn¡1(xk) = P2n¡1(xk), k = 1; : : : ; n. pOLINOM P2n¡1 ¡ rn¡1 IMEET TO^KI xk SWOIMI KORNQMI, I POTOMU DELITSQ NA !n(x) = c(x ¡ x1) : : : (x ¡ xn), TAK ^TO

45

P2n¡1(x) = !n(x)qn¡1(x) + rn¡1(x), GDE qn¡1 2 Pn¡1 — SOOTWAETSTWU- @]EE ^ASTNOE. u^ITYWAQ, ^TO (1) KAK ikf TO^NA DLQ WSEH POLINOMOW

STEPENI NE WY[E n ¡ 1, IMEEM

Z b Z b Z b

w(x)P2n¡1(x)dx = w(x)!n(x)qn¡1(x)dx+ w(x)rn¡1(x)dx =

a a a

Z b Xn

= w(x)rn¡1(x) = Akrn¡1(xk) =

ak=1

Xn

AkP2n¡1(xk):

k=1

pOSKOLXKU KWADRATURNAQ FORMULA S NEOTRICATELXNYM WESOM I n UZLAMI NE MOVET IMETX ast BOLX[E 2n ¡1, TO \TIM TEOREMA DOKAZANA.

¥

oPREDELENIE. fORMULA (1), IME@]AQ PRI n UZLAH ast 2n¡1,

NAZYWAETSQ FORMULOJ GAUSSOWA TIPA ILI FORMULOJ NAIWYS[EJ STE- PENI TO^NOSTI.

sLEDSTWIE. pRI NALOVENNYH NA WES w(x) USLOWIQH PRI KAVDOM n FORMULA GAUSSOWA TIPA SU]ESTWUET I EDINSTWENNA.

oTMETIM SWOJSTWA FORMUL GAUSSOWA TIPA.

h1i kO\FFICIENTY TAKOJ FORMULY POLOVITELXNY: Ak > 0.

d O K A Z A T E L X S T W O. dLQ POLINOMOW lk2(x), GDE lk(x) — FUNDAMENTALXNYE POLINOMY INTERPOLQCII PO UZLAM xk (lk(xj) = ±kj),

IME@]IE STEPENX n ¡ 1, FORMULA TO^NA. pO\TOMU

aj=1

h2i fORMULA GAUSSOWA TIPA IMEET PREDSTAWLENIE OSTATKA W FORME lAGRANVA:

46

GDE !n(x) — ORTOGONALXNYJ POLINOM SO STAR[IM KO\FFICIENTOM, RAWNYM EDINICE.

d O K A Z A T E L X S T W O. dLQ f 2 C(2n)[a; b] POSTROIM \RMITOWSKIJ INTERPOLQCIONNYJ POLINOM P2n¡1 2 P2n¡1 PO UZLAM xk KRATNOSTI 2. tOGDA

I T.K. Rn(P2n¡1) = 0, TAK ^TO Rn(f) = Rn(f ¡ P2n¡1), I Qn(f) = Qn(P2n¡1), TO

(MY WOSPOLXZOWALISX LEMMOJ IZ x2). ¥ h3i dLQ OSTATKA SPRAWEDLIWA OCENKA

Z b

Rn(f) · 2 w(x)dx E2n¡1(f):

a

|TO — NEPOSREDSTWENNOE SLEDSTWIE TEOREMY 3 IZ x1.

h4i dLQ L@BOJ NEPRERYWNOJ FUNKCII f 2 C[a; b] PRI n ! 1

Z b

Qn(f) ! w(x)f(x)dx:

a

|TO NEMEDLENNO SLEDUET IZh3i.

oPREDELENIE. kWADRATURNAQ FORMULA GAUSSOWA TIPA DLQ PROMEVUTKA [¡1; 1] S WESOM w(x) ´ 1 NAZYWAETSQ KWADRATURNOJ FORMULOJ gAUSSA.

z A M E ^ A N I E. dLQ L@BOGO PROMEVUTKA [a; b] FORMULA GAUSSOWA TIPA S WESOM w(x) ´ 1 PODOBNA FORMULE gAUSSA. oBY^NO FORMULY, PODOBNYE FORMULE gAUSSA, TAKVE NAZYWA@T FORMULAMI gAUSSA.

47

oPREDELENIE. mNOGO^LENOM lEVANDRA STEPENI n NAZYWAETSQ

tEOREMA 4. mNOGO^LEN lEVANDRA ESTX ORTOGONALXNYJ NA PROMEVUTKE [¡1; 1] S WESOM w(x) ´ 1 POLINOM. eGO STAR[IJ KO\FFICIENT RAWEN EDINICE.

d O K A Z A T E L X S T W O. tO, ^TO Pn ESTX POLINOM STEPENI n SO STAR[IM KO\FFICIENTOM EDINICA, O^EWIDNO. pOKAVEM ORTOGONALXNOSTX. u^ITYWAQ, ^TO PRI k < n

dk (x2 ¡ 1)n ¯¯ = 0; dxk x=§1

I INTEGRIRUQ PO ^ASTQM, DLQ L@BOGO POLINOMA qn¡1 2 Pn¡1 IMEEM

T.K. dxdnn qn¡1(x) ´ 0. ¥

kORNI MNOGO^LENA lEVANDRA QWLQ@TSQ UZLAMI KWADRATURNOJ FORMULY gAUSSA. sAM \TOT MNOGO^LEN W ZAWISIMOSTI OT ^ETNOSTI ILI NE^ETNOSTI n QWLQETSQ ^ETNOJ ILI NE^ETNOJ FUNKCIEJ. pO\TOMU (SM. TAKVE SWOJSTWO h5i IZ x2) WERNA

tEOREMA 5. uZLY KWADRATURNOJ FORMULY gAUSSA SIMMETRI^- NY (PRI NUMERACII W PORQDKE WOZRASTANIQ xk = ¡xn+1¡k), A KO\F- FICIENTY PRI SIMMETRI^NYH UZLAH RAWNY (Ak = An+1¡k).

lEMMA. sPRAWEDLIWO RAWENSTWO

Z 1

In = ¡1(1 ¡ x2)ndx = 2(2n + 1)!!:

48

TAK ^TO In = 2n2+1n In¡1 I OSTAETSQ PRIMENITX METOD MATEMATI^ESKOJ INDUKCII, U^ITYWAQ, ^TO Io = 2. ¥

sLEDSTWIE. sPRAWEDLIWO RAWENSTWO

d O K A Z A T E L X S T W O. iNTEGRIRUQ PO ^ASTQM:

(ZDESX U^TENO, ^TO Pn(n)(x) ´ n!), I OSTAETSQ WOSPOLXZOWATXSQ LEMMOJ.

¥

tEOREMA 6. dLQ KWADRATURNOJ FORMULY gAUSSA PRI f 2 C(2n)[¡1; 1] SPRAWEDLIWO PREDSTAWLENIE OSTATKA

WATXSQ DOKAZANNYM SLEDSTWIEM I RAWENSTWAMI

(2n)!! = 2nn!; (2n + 1)!! = (2n + 1)! = (2n + 1)(2n)! ¥