Лекции по методам вычислений / GLAVA1

i.k. dAUGAWET

lEKCII PO METODAM WY^ISLENIJ.

G. sANKT-pETERBURG 2004G.

1

1

gLAWA 1

pRIBLIVENIE FUNKCIJ I INTERPOLQCIQ

x1. rAWNOMERNOE PRIBLIVENIE FUNKCIJ. pOLINOMY ~EBY[EWA.

iDEI PRIBLIVENIQ FUNKCIJ PRONIZYWA@T WS@ WY^ISLITELXNU@ MATEMATIKU.

~EM PRIBLIVATX? mY BUDEM RASSMATRIWATX PRIBLIVENIE POLINOMA-

MI.

kAK IZMERQTX BLIZOSTX FUNKCIJ? rAWNOMERNAQ BLIZOSTX.

pOQSNIM, ^TO \TO ZNA^IT. mNOVESTWO FUNKCIJ, ZADANNYH I NEPRERYWNYH NA PROMEVUTKE [a; b], OBOZNA^IM ^EREZ C = C[a; b] I KAVDOJ FUNK-

CII f 2 C SOPOSTAWIM ^ISLO kfk = kfkC = maxx2[a;b] jf(x)j, NAZYWAEMOE NORMOJ FUNKCII f (W PROSTRANSTWE C). oTMETIM SWOJSTWA NORMY:

h1i kfk ¸ 0 I kfk = 0 W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI f(x) ´ 0; h2i k®fk = j®j kfk;

h3i kf + gk · kfk + kgk (NERAWENSTWO TREUGOLXNIKA).

iZ SWOJSTWA h3i SLEDUET, ^TO DLQ L@BYH FUNKCIJ f; g 2 C WYPOLNQETSQ

¯ ¯

NERAWENSTWO ¯kfk ¡ kgk ¯ · kf ¡ gk.

pUSTX DANA POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ f fn g ½ C. sOOTNO[ENIE kfn ¡fk ! 0 (SHODIMOSTX PO NORME W C) OZNA^AET RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI f fn g K f.

wWEDEM OBOZNA^ENIE: Pn = fPng — MNOVESTWO WSEH POLINOMOW STEPENI NE WY[E n.

w TERMINAH NORMY IZWESTNAQ IZ KURSA ANALIZA 1-Q TEOREMA wEJER- [TRASSA MOVET BYTX SFORMULIROWANA W WIDE

tEOREMA (1-Q TEOREMA wEJER[TRASSA). dLQ L@BOJ FUNKCII f 2 C PO L@BOMU " > 0 NAJDUTSQ TAKOE n I TAKOJ Pn 2 Pn, ^TO kf ¡ Pnk < ".

oPREDELENIE. nAILU^[IM PRIBLIVENIEM FUNKCII f 2 C POLINO-

pOLINOM Pn 2 Pn NAZYWAETSQ POLINOMOM NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ FUNK-

CII f, ESLI kf ¡ Pnk = En(f).

tEOREMA wEJER[TRASSA OZNA^AET, ^TO DLQ L@BOJ f 2 C En(f) ! 0.

2

dOKAVEM SU]ESTWOWANIE POLINOMA NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ.

lEMMA 1. F (A) = F (a0; : : : ; an) = kf ¡PnkC, GDE Pn(x) = Pn(A; x) = a0 + ¢ ¢ ¢ + anxn, ESTX NEPRERYWNAQ FUNKCIQ ARGUMENTOW ak.

d O K A Z A T E L X S T W O. pOLOVIM c = maxfjaj; jbjg. tOGDA W PONQTNYH OBOZNA^ENIQH

lEMMA 2. sU]ESTWUET TAKAQ POSTOQNNAQ m, ZAWISQ]AQ LI[X OT n I PROMEVUTKA [a; b], ^TO DLQ L@BOGO Pn 2 Pn (Pn = a0 + ¢ ¢ ¢ + anxn) WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO

F (A) = kf ¡Pn(A; ¢)k ¸ kPn(A; ¢)k¡kfk > mR¡kfk = kfk = F (0) ¸ F (A¤);

TAK ^TO A¤ — TO^KA GLOBALXNOGO MINIMUMA. ¥

iZWESTNO, ^TO DLQ L@BOJ NEPRERYWNOJ FUNKCII f 2 C EE POLINOM NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ W KLASSE Pn EDINSTWENNYJ, NO \TO UTWERVDENIE OSTAWIM BEZ DOKAZATELXSTWA.

rASSMOTRIM ODNU ^ASTNU@, NO O^ENX WAVNU@ ZADA^U. nA PROMEVUTKE [¡1; 1] DLQ FUNKCII f(x) = xn TREBUETSQ POSTROITX EE POLINOM NAILU^[E- GO PRIBLIVENIQ STEPENI n ¡ 1. eSLI Qn¡1 2 Pn¡1 RE[AET POSTAWLENNU@

3

ZADA^U, TO Pn(x) = xn ¡Qn¡1(x) ESTX POLINOM STEPENI n SO STAR[IM KO\F- FICIENTOM 1, RE[A@]IJ ZADA^U: SREDI WSEH POLINOMOW STEPENI n SO STAR- [IM KO\FFICIENTOM 1, NAJTI TOT, DLQ KOTOROGO kPnkC[¡1;1] MINIMALXNA (\TI DWE ZADA^I \KWIWALENTNY). pOLINOM, RE[A@]IJ WTORU@ ZADA^U, NA-

ZYWAETSQ POLINOMOM, NAIMENEE UKLONQ@]IMSQ OT NULQ.

oPREDELENIE. pOLINOMOM ~EBY[EWA STEPENI n NAZYWAETSQ FUNKCIQ, ZADAWAEMAQ NA PROMEVUTKE [¡1; 1] FORMULOJ

Tn(x) = cos(n arccos x):

iZ FORMULY cos(n + 2)µ = 2cosµ cos(n + 1)µ ¡cos nµ LEGKO POLU^AETSQ REKURRENTNAQ FORMULA DLQ MNOGO^LENOW ~EBY[EWA:

Tn+2(x) = 2xTn+1(x) ¡ Tn(x);

KOTORAQ (U^ITYWAQ, ^TO T0(x) = 1, T1(x) = x) POZWOLQET LEGKO DOKAZATX METODOM INDUKCII, ^TO Tn(x) ESTX POLINOM STEPENI n SO STAR[IM KO\FFICIENTOM (PRI n ¸ 1) 2n¡1.

w [IROKOM SMYSLE POLINOMAMI ~EBY[EWA NAZYWA@T TAKVE POLINOMY, OTLI^A@]IESQ OT Tn(x) POSTOQNNYM MNOVITELEM.

nEPOSREDSTWENNO IZ OPREDELENIQ LEGKO NAHODQTSQ TO^KI yk MAKSIMUMA MODULQ I KORNI xk POLINOMA Tn:

sLEDSTWIE. En¡1(xn) = 1=2n¡1.

z A M E ^ A N I E. kAK WIDNO IZ DOKAZATELXSTWA TEOREMY, DLQ FUNKCII xn I EE POLINOMA NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ STEPENI n ¡ 1 NA[LISX TAKIE n + 1 TO^KI (\TO TO^KI yk), W KOTORYH RAZNOSTX MEVDU NIMI DOSTIGAET

4

MAKSIMALXNOGO PO WELI^INE ZNA^ENIQ S ^EREDU@]IMISQ ZNAKAMI. |TO — OB]EE QWLENIE. wERNA

tEOREMA p.l.~EBY[EWA (BEZ DOKAZATELXSTWA). pUSTX f 2 C, Pn 2 Pn. dLQ TOGO ^TOBY Pn BYL POLINOMOM NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO SU]ESTWOWANIE ^EBY[EWSKOGO ALXTERNANSA, T.E. TAKIH TO^EK a · x1 < ¢ ¢ ¢ < xn+2 · b, ^TO

1) jf(x¡k) ¡ Pn(xk)j = k¢f ¡ Pnk, ¡ ¢ 2) sign f(xk) ¡ Pn(xk) = ¡sign f(xk+1) ¡ Pn(xk+1) :

gLADKIE FUNKCII HORO[O PRIBLIVA@TSQ POLINOMAMI. bEZ DOKAZATELXSTWA PRIWEDEM TEOREMU:

tEOREMA. (d.dVEKSON, 1912). pRI KAVDOM NATURALXNOM p NAJDETSQ TAKAQ POSTOQNNAQ cp, ^TO DLQ L@BOJ FUNKCII f 2 C(p)[a; b] WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA

zADA^A 1. pOKAZATX, ^TO W TEOREME dVEKSONA USLOWIE n ¸ p ¡ 1 SU]ESTWENNO.

zADA^A 2. dOKAZATX TEOREMU O EDINSTWENNOSTI POLINOMA NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ, ISPOLXZUQ TEOREMU OB ALXTERNANSE. uKAZANIE: pOKAZATX, ^TO ESLI POLINOMOW NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ DWA, TO IH POLUSUMMA TAKVE POLINOM NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ I WOSPOLXZOWATXSQ TEM, ^TO DLQ NEGO SU]ESTWUET ALXTERNANS.

zADA^A 3. pOKAZATX, ^TO ESLI DLQ POLINOMA Pn 2 Pn PRI WSEH x 2 [¡1; 1] WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jPn(x)j · 1, TO PRI x > 1 BUDET jPn(x)j · Tn(x).

x2. kONE^NYE I RAZDELENNYE RAZNOSTI

oPREDELENIE. dANO h > 0. kONE^NOJ RAZNOSTX@ S [AGOM h FUNKCII f 2 C[a; b] NAZYWAETSQ FUNKCIQ f(x) = f(x + h) ¡ f(x). kONE^NYE RAZNO-

kONE^NAQ RAZNOSTX kf ZADANA NA PROMEVUTKE [a; b ¡ kh]. kONE^NYE RAZNOSTI — APPARAT RABOTY S FUNKCIQMI, ZADANNYMI TAB-

LI^NO W RAWNOOTSTOQ]IH UZLAH. eSLI NAM IZWESTNY ZNA^ENIQ FUNKCII f W

5

ZNA^ENIQMI FUNKCII SODERVAT I ZNA^ENIQ EE RAZNOSTEJ, KAVDU@ SLEDU- @]U@ RAZNOSTX OBY^NO PRINQTO RAZME]ATX NA POLSTROKI NIVE, TAK ^TO TAKAQ TABLICA WYGLQDIT TAK (ESLI PRIWODQTSQ RAZNOSTI DO 3-GO PORQDKA):

ETSQ W WIDU, ^TO PRAWAQ ^ASTX RASKRYWAETSQ PO FORMULE BINOMA nX@TONA. h4i zNA^ENIE FUNKCII f W TO^KE xk MOVET BYTX WYRAVENO ^EREZ ZNA-

^ENIQ EE RAZNOSTEJ W TO^KE x0:

fn = f0 + Cn1 f0 + Cn2 2f0 + ¢ ¢ ¢ + nf0:

fORMULA TAKVE LEGKO DOKAZYWAETSQ METODOM INDUKCII. dLQ DOKAZATELXSTWA WOZMOVNOSTI INDUKTIWNOGO PEREHODA SLEDUET WOSPOLXZOWATXSQ TEM,

6

^TO fn = fn¡1 + fn¡1 I DLQ OBEIH FUNKCIJ, STOQ]IH SPRAWA, WOSPOLXZOWATXSQ INDUKTIWNYM PREDPOLOVENIEM. mNEMONI^ESKAQ ZAPISX FORMULY:

En = (1 + Δ)n.

KAZYWAEMOE SWOJSTWO ESTX FORMULA lAGRANVA. wOZMOVNOSTX INDUKTIWNOGO PEREHODA SLEDUET IZ CEPO^KI RAWENSTW:

kf(x0) = k¡1f(x0 + h) ¡ k¡1f(x0) = h k¡1f0(´) = hkf(k)(»):

zDESX ´ 2 (x0; x0 + h), » 2 (´; ´ + (k ¡ 1)h) ½ (x0; x0 + kh).

pRI RABOTE S TABLI^NO ZADANNYMI FUNKCIQMI PRI NERAWNOOTSTOQ- ]IH UZLAH KONE^NYE RAZNOSTI ZAMENQ@TSQ RAZDELENNYMI.

oPREDELENIE. rAZDELENNOJ RAZNOSTX@ (RAZNOSTNYM OTNO[ENIEM) PERWOGO PORQDKA FUNKCII f(x) NAZYWAETSQ FUNKCIQ DWUH PEREMENNYH

rAZDELENNYE RAZNOSTI WYS[IH PORQDKOW OPREDELQ@TSQ REKURSIWNO, PRI^EM RAZDELENNAQ RAZNOSTX k-GO PORQDKA ESTX FUNKCIQ (k + 1)-GO POPARNO NE SOWPADA@]IH ARGUMENTOW:

f(x0; x1; : : : ; xk) = f(x1; : : : ; xk) ¡ f(x0; x1; : : : ; xk¡1): xk ¡ x0

pERE^ISLIM OSNOWNYE SWOJSTWA RAZDELENNYH RAZNOSTEJ. h1i eSLI f = ®1g1 + ®2g2, TO

f(x0; : : : ; xk) = ®1g1(x0; : : : ; xk) + ®2g2(x0; : : : ; xk)

.

7

h2i sPRAWEDLIWO PREDSTAWLENIE:

d O K A Z A T E L X S T W O PROWODITSQ METODOM INDUKCII. pRI k = 1 FORMULA O^EWIDNA. wOZMOVNOSTX INDUKTIWNOGO PEREHODA OT k K k + 1 POKAVEM TOLXKO DLQ k = 1 — OB]IJ SLU^AJ NE SLOVNEE W IDEJNOM OTNO[ENII, NO GROMOZDOK. iTAK,

h3i rAZDELENNAQ RAZNOSTX f(x0; : : : ; xk) ESTX SIMMETRI^NAQ FUNKCIQ SWOIH ARGUMENTOW, T.E. OT PERESTANOWKI ARGUMENTOW EE ZNA^ENIE NE MENQETSQ. |TO SWOJSTWO ESTX NEPOSREDSTWENNOE SLEDSTWIE PREDYDU]EGO.

tEPERX MOVNO SKAZATX, ^TO RAZDELENNAQ RAZNOSTX k-GO PORQDKA ESTX PERWAQ RAZDELENNAQ RAZNOSTX OT (k ¡ 1)-J PO L@BOMU EE ARGUMENTU.

h4i eSLI p — POLINOM STEPENI n, TO RAZDELENNAQ RAZNOSTX PORQDKA k ESTX POLINOM STEPENI n ¡ k OT k + 1 ARGUMENTOW.

h5i sPRAWEDLIWO PREDSTAWLENIE

f(xn) = f(x0) + (xn ¡ x0)f(x0; x1) + (xn ¡ x0)(xn ¡ x1)f(x0; x1; x2)+ + ¢ ¢ ¢ + (xn ¡ x0) : : : (xn ¡ xn¡1)f(x0; : : : ; xn):

8

d O K A Z A T E L X S T W O PROWODITSQ METODOM INDUKCII. pRI n = 1 FORMULA O^EWIDNA. pOKAVEM WOZMOVNOSTX INDUKTIWNOGO PEREHODA OT n ¡1 K n. iSPOLXZUQ INDUKTIWNOE PREDPOLOVENIE DLQ TO^EK x0; : : : ; xn¡2; xn, IMEEM

f(xn) = f(x0) + (xn ¡ x0)f(x0; x1) + ¢ ¢ ¢ +

+ (xn ¡ x0) : : : (xn ¡ xn¡2)f(x0; : : : ; xn¡2; xn)

I OSTAETSQ WOSPOLXZOWATXSQ TEM, ^TO

f(x0; : : : ; xn¡2; xn) = f(x0; : : : ; xn¡2; xn¡1) + f(x0; : : : ; xn¡1; xn)(xn ¡ xn¡1):

h6i pUSTX ® = min xk, ¯ = max xk. eSLI NA PROMEVUTKE [®; ¯] FUNKCIQ f n RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA (f 2 C(n)), TO NAJDETSQ TAKAQ TO^KA

» 2 (®; ¯), ^TO

f(x0; : : : ; xn) = n1!f(n)(»):

d O K A Z A T E L X S T W O. rASSMOTRIM POLINOM STEPENI n

Pn(x) = f(x0) + (x ¡ x0)f(x0; x1) + ¢ ¢ ¢ + (x ¡ x0) : : : (x ¡ xn¡1)f(x0; : : : ; xn)

I FUNKCI@ '(x) = f(x) ¡ Pn(x). o^EWIDNO, ^TO ' 2 C(n). sOGLASNO PREDYDU]EMU SWOJSTWU Pn(xk) = f(xk) (k = 0; : : : ; n), TAK ^TO FUNKCIQ ' IMEET

NA [®; ¯] NE MENEE ^EM n + 1 RAZLI^NYH KORNEJ. pO TEOREME rOLLQ '0 IMEET NA (®; ¯) NE MENEE n KORNEJ, '00 — NE MENEE, ^EM n ¡ 1, I '(n) PO MENX[EJ MERE ODIN KORENX ». nO '(n)(») = f(n)(») ¡ n!f(x0; : : : ; xn). ¥

dOKAZANNOE SWOJSTWO POZWOLQET NAM DOOPREDELITX PO NEPRERYWNOSTI RAZDELENNU@ RAZNOSTX PORQDKA n NA SLU^AJ, KOGDA WSE ILI NEKOTORYE IZ EE ARGUMENTOW SOWPADA@T.

h7i eSLI FUNKCIQ f n RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA NA PRO-

9

A ESLI SREDI ARGUMENTOW x0; : : : ; xk IME@TSQ HOTX DWA RAZLI^NYH (DLQ OPREDELENNOSTI x0 =6 xk), TO1

dLQ DOOPREDELENNYH TAKIM OBRAZOM PO NEPRERYWNOSTI RAZDELENNYH RAZNOSTEJ SOHRANQ@TSQ SWOJSTWA h1i, h3i-h6i.

d O K A Z A T E L X S T W O. zAMETIM PREVDE WSEGO, ^TO ESLI f(x0; : : : ; xk) DOOPREDELENA PO NEPRERYWNOSTI NA SLU^AJ HOTQ BY NESKOLXKIH SOWPADA@-

]IH ARGUMENTOW, TO DLQ NEE WYPOLNQ@TSQ SWOJSTWA h1i, h3i-h6i. |TO LEGKO DOKAZYWAETSQ PREDELXNYM PEREHODOM. nEPRERYWNOSTX DOOPREDELENNOJ FORMULAMI (1)-(2) NA SLU^AJ SOWPADA@]IH ARGUMENTOW RAZDELENNOJ RAZNOSTI DOKAZYWAETSQ INDUKCIEJ PO k I SLEDUET IZ NEPRERYWNOSTI PROIZWODNYH fk

(k · n). ¥

aR-GU-MEN-TY RAZDELENNOJ RAZNOSTI ^ASTO NAZYWA@T UZLAMI. eSLI NEKOTORYJ UZEL WSTRE^AETSQ SREDI ARGUMENTOW RAZDELENNOJ RAZNOSTI k RAZ, TO EGO NAZYWA@T UZLOM KRATNOSTI k. dLQ TOGO ^TOBY WY^ISLITX f(x0; : : : ; xn), SOGLASNO FORMULAM (1)-(2) DOSTATO^NO ZNATX W KAVDOM UZLE xk ZNA^ENIE SAMOJ FUNKCII f I EE PROIZWODNYH DO PORQDKA m¡1 WKL@^ITELXNO, ESLI KRATNOSTX \TOGO UZLA ESTX m. eSLI FUNKCIQ f n RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA, TO EE RAZDELENNYE RAZNOSTI PORQDKA WY[E n OPREDELENY I NEPRERYWNY DLQ TEH ZNA^ENIJ ARGUMENTOW, KOGDA KRATNOSTX KAVDOGO UZLA NE PREWY[AET n.

h8i eSLI TO^KI xk RAWNOOTSTOQ]I: xk = x0 + kh, TO O^EWIDNA SWQZX MEVDU KONE^NYMI I RAZDELENNYMI RAZNOSTQMI:

1oBRATIM WNIMANIE, ^TO \TO REKURRENTNOE (PO k) OPREDELENIE.