Лекции по методам вычислений / GLAVA1
.pdf10
tABLICA RAZDELENNYH RAZNOSTEJ OBY^NO WYGLQDIT TAK:
x |
f(x) |
f(x; y) |
f(x; y; z) |
x0 |
f(x0) |
f(x0; x1) |
|
|
f(x1) |
f(x0; x1; x2) |
|
x1 |
f(x1; x2) |
||
|
f(x2) |
f(x1; x2; x3) |
|
x2 |
f(x2; x3) |
||
|
f(x3) |
f(x2; x3; x4) |
|
x3 |
|
||
: : : |
: : : |
: : : |
: : : |
f(x; y; z; t)
f(x0; x1; x2; x3)
f(x1; x2; x3; x4)
: : :
zAMETIM, ^TO ESLI ARGUMENTY RASPOLOVENY W PORQDKE WOZRASTANIQ I SREDI NIH IME@TSQ KRATNYE, PRI^EM W KRATNYH UZLAH NAM IZWESTNY NEOBHODIMYE ZNA^ENIQ PROIZWODNYH FUNKCII f, TO WY^ISLENIE WSEH NAHODQ]IHSQ W TABLICE ZNA^ENIJ RAZDELENNYH RAZNOSTEJ NE SOSTAWLQET TRUDA I W \TOM SLU^AE.
zADA^A. pUSTX N > M ¸ 0 CELYE. dOKAZATX:
Xn |
|
|
(N + k)! |
|
= ( 0 |
PRI N ¡ M < n |
|
( |
¡ |
1)n¡kCk |
|
||||
|
|||||||
k=0 |
n (M + k)! |
n! |
PRI N ¡ M = n: |
||||
|
|
|
|
||||
11
x3. aLGEBRAI^ESKAQ INTERPOLQCIQ
oB]AQ POSTANOWKA ZADA^I INTERPOLQCII TAKOWA. nA PROMEVUTKE [a; b] ZADANA SISTEMA NEPRERYWNYH FUNKCIJ f'k(x)g (k = 0; : : : ; n). lINEJNYE KOMBINACII \TIH FUNKCIJ NAZYWA@TSQ OBOB]ENNYMI POLINOMAMI (PO SISTEME f'kg). zADANY POPARNO RAZLI^NYE TO^KI x0; : : : ; xn PROMEVUTKA [a; b], NAZYWAEMYE UZLAMI2. sTAWITSQ ZADA^A: DLQ PROIZWOLXNO ZADANNOJ NA [a; b]
FUNKCII f(x) POSTROITX TAKOJ “POLINOM” q = |
n |
a ' |
|
, KOTORYJ UDOWLE- |
TWORQL BY RAWENSTWAM q(xk) = f(xk) (k = 0; : : :P; nk)=0. |
k |
k |
|
|
dWE IPOSTASI ZADA^I: 1) PRIBLIVENIE FUNKCII BOLEE PROSTYMI, 2) FUNKCIQ f IZWESTNA NAM LI[X W KONE^NOM ^ISLE TO^EK, A NAS INTERESU@T
EE ZNA^ENIQ W DRUGIH TO^KAH. |
|
|
|
|
|
bUDET LI POSTAWLENNAQ ZADA^A RAZRE[IMA? |
|
|
|
|
|
oPREDELENIE |
n |
NAZYWAETSQ ^EBY[EWSKOJ |
|||
. sISTEMA FUNKCIJ f'kgk=0 |
|
n |
|
|
|
NA [a; b], ESLI L@BOJ NETRIWIALXNYJ “POLINOM” q = |
k=0 ak'k (T.E. TAKOJ, |
||||
|
|
NULQ IMEET NA |
|
NE |
|
^TO HOTX ODIN IZ EGO KO\FFICIENTOW ak OTLI^EN OT P |
) |
[a; b] |
|
||
BOLEE n KORNEJ.
tEOREMA 1. dLQ TOGO ^TOBY SISTEMA f'kgnk=0 BYLA ^EBY[EWSKOJ, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY DLQ L@BOGO NABORA POPARNO RAZLI^NYH
TO^EK x0; : : : ; xn 2 [a; b] OPREDELITELX |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|||
Δ(x0; : : : ; xn) = |
¯ |
'0:(:x:0) |
:: :: :: |
'n:(:x: 0) |
|||||||
|
¯ |
' |
0 |
(x |
n |
) : : : ' |
n |
(x ) |
¯ |
||
|
¯ |
|
|
|
|
|
n |
¯ |
|||
BYL OTLI^EN OT NULQ. |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
d O K A Z A T E L X S T W O. dOKAVEM, ^TO DLQ TOGO ^TOBY NA[A SISTEMA NE BYLA ^EBY[EWSKOJ, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY NA[LISX TAKIE POPARNO RAZLI^NYE TO^KI xk, ^TO Δ(x0; : : : ; xn) = 0. dEJSTWITELXNO, ESLI SISTEMA NE ^EBY[EWSKAQ, TO NAJDETSQ NETRIWIALXNYJ “POLINOM” q, KOTORYJ IMEET PO MENX[EJ MERE n + 1 KORENX. pUSTX x0; : : : ; xn — EGO KORNI. tOGDA EGO
KO\FFICIENTY UDOWLETWORQ@T SISTEME URAWNENIJ |
9 |
|
|
||
|
a0'0(x0) +: ¢ ¢:¢ +: an'n(x0) = 0 |
: |
(1) |
||
|
a0'0(xn) + + an'n(xn) = 0 |
= |
|
|
|
|
TO^KI NEKOTOROJ SISTEMY¢ ¢ ¢ |
BUDUT NAZYWATXSQ;UZLAMI, |
|
||
2kOGDA |
TO WSEGDA BUDET |
||||
IMETXSQ W WIDU, ^TO ONI POPARNO RAZLI^NY.
12
iTAK, SISTEMA ODNORODNYH URAWNENIJ (1) IMEET NENULEWOE RE[ENIE I, ZNA- ^IT, EE OPREDELITELX Δ(x0; : : : ; xn) = 0. oBRATNO, PUSTX NA[LISX TAKIE POPARNO RAZLI^NYE TO^KI x0; : : : ; xn, ^TO Δ(x0; : : : ; xn) = 0. tOGDA SISTEMA ODNORODNYH URAWNENIJ (1) IMEET NENULEWOE RE[ENIE, I KOMPONENTY \TOGO RE[ENIQ BUDUT KO\FFICIENTAMI “POLINOMA”, KOTORYJ IMEET WSE TO^KI x0; : : : ; xn SWOIMI KORNQMI. ¥
tEOREMA 2. dLQ TOGO ^TOBY DLQ L@BOJ SISTEMY UZLOW x0; : : : ; xn 2 [a; b] INTERPOLQCIONNAQ ZADA^A q(xk) = fk BYLA ODNOZNA^NO RAZRE[IMA, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY SISTEMA 'k BYLA ^EBY[EWSKOJ.
d O K A Z A T E L X S T W O. eSLI ISKATX INTERPOLQCIONNYJ POLINOM W
FORME q(x) = Pn ak'k(x), TO TREBOWANIQ q(xk) = fk DADUT SISTEMU (n+1)
k=0
LINEJNYH URAWNENIJ OTNOSITELXNO EGO (n + 1) KO\FFICIENTA S OPREDELITELEM Δ(x0; : : : ; n). nEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM USLOWIEM ODNOZNA^NOJ RAZRE[IMOSTI \TOJ SISTEMY QWLQETSQ OTLI^IE OT NULQ OPREDELITELQ. pO\TOMU OSTAETSQ SOSLATXSQ NA PREDYDU]U@ TEOREMU. ¥
pOSKOLXKU L@BOJ POLINOM Pn 2 Pn IMEET NE BOLEE n POPARNO RAZLI^NYH KORNEJ, TO SISTEMA f1; x; : : : ; xng QWLQETSQ ^EBY[EWSKOJ NA L@BOM PROMEVUTKE [a; b], I IZ TEOREMY 2 NEMEDLENNO WYTEKAET
sLEDSTWIE. kAKOWY BY NI BYLI UZLY x0; : : : ; xn I ^ISLA f0; : : : ; fn SU]ESTWUET I PRITOM EDINSTWENNYJ POLINOM Pn 2 Pn, TAKOJ ^TO PRI k = 0; : : : ; n Pn(xk) = fk.
eSLI fk — \TO ZNA^ENIQ W UZLAH NEKOTOROJ FUNKCII f(x), TO Pn NAZYWAETSQ INTERPOLQCIONNYM POLINOMOM FUNKCII f.
dALX[E BUDEM RASSMATRIWATX ZADA^U POSTROENIQ ALGEBRAI^ESKOGO INTERPOLQCIONNOGO POLINOMA.
oBOZNA^IM ^EREZ lk(x) POLINOM, RE[A@]IJ INTERPOLQCIONNU@ ZA-
DA^U3
|
|
lk(xj) = ±kj: |
|
(2) |
|
lEGKO WIDETX, ^TO TOGDA POLINOM Pn(x) = |
|
n |
|
||
|
k=0 lk(x)fk UDOWLETWORQET RA- |
||||
WENSTWAM |
Pn(xj) = fj. pO\TOMU |
INTERPOLQCIONNYJ POLINOM FUNKCII |
f(x) |
||
|
|
P |
|
||
3±kj — SIMWOL kRONEKERA.
|
|
13 |
MOVET BYTX ZAPISAN W WIDE |
|
|
|
n |
|
|
X |
|
Pn(x) = |
lk(x)f(xk): |
(3) |
k=0
|TA FORMULA NAZYWAETSQ INTERPOLQCIONNOJ FORMULOJ lAGRANVA, A PO-
LINOMY lk(x) — FUNDAMENTALXNYMI POLINOMAMI INTERPOLQCII ILI POLINOMAMI WLIQNIQ lAGRANVA. dLQ \TIH POLINOMOW NETRUDNO UKAZATX QWNOE PREDSTAWLENIE:
lk(x) = |
(x ¡ x0) : : : (x ¡ xk¡1)(x ¡ xk+1) : : : (x ¡ xn) |
= |
|
!(x) |
|
; |
|
(x ¡ xk)!0 |
(xk) |
||||||
|
(xk ¡ x0) : : : (xk ¡ xk¡1)(xk ¡ xk+1 : : : (xk ¡ xn) |
|
|
||||
GDE !(x) = (x ¡ x0) : : : (x ¡ xn).
dRU-GOE PREDSTAWLENIE INTERPOLQCIONNOGO POLINOMA PRINADLEVIT nX@TONU:
Pn(x) = f(x0) + (x ¡ x0)f(x0; x1) + ¢ ¢ ¢ + (x ¡ x0) : : : (x ¡ xn¡1)f(x0; : : : ; xn):
|TO — INTERPOLQCIONNAQ FORMULA nX@TONA. pOLINOM Pn ISPOLXZOWALSQ PRI DOKAZATELXSTWE SWOJSTWA h6i RAZDELENNYH RAZNOSTEJ, TAM I BYLO POKAZANO, ^TO ON UDOWLETWORQET RAWENSTWAM Pn(xk) = f(xk).
sRAWNENIE \TIH DWUH FORMUL. fORMULA nX@TONA UDOBNEE DLQ WY^ISLENIJ, W ^ASTNOSTI, TEM, ^TO LEGKO DOBAWLQTX NOWYE UZLY I WOPROS O ^ISLE UZLOW MOVNO RE[ATX W PROCESSE WY^ISLENIJ. fORMULA lAGRANVA UDOBNA W TEORETI^ESKIH WOPROSAH INTERPOLQCII. w PRAKTI^ESKIH PRIMENENIQH ONA UDOBNEE, ESLI NUVNO INTERPOLIROWATX MNOGO FUNKCIJ PO ODNOJ I TOJ VE SISTEME UZLOW.
rASSMOTRIM SLU^AJ RAWNOOTSTOQ]IH UZLOW: xk = x0 + kh. pOSKOLXKU W OSNOWE FORMUL BUDET LEVATX FORMULA nX@TONA, MOVNO UKAZYWATX LI[X PORQDOK PRIWLE^ENIQ UZLOW.
1. pUSTX ZNA^ENIQ FUNKCII f(x) IZWESTNY W UZLAH x0; x1; : : : I TO^KA x, W KOTOROJ NAM NUVNO NAJTI EE ZNA^ENIE, LEVIT WBLIZI x0. tOGDA PRIWLEKAQ UZLY W PORQDKE x0; x1; : : : , DELAQ ZAMENU x = x0 + th I U^ITYWAQ, ^TO
x ¡ xk = h(t ¡ k) I f(x0; : : : ; xk) = 1 kf0, IMEEM
hkk!
P (x0 + th) = f0 |
+ t f0 |
+ |
t(t ¡ 1) |
2f0 |
+ |
t(t ¡ 1)(t ¡ 2) |
3f0 + : : : : |
|
|
2! |
|
3! |
|
||
14
|TO — FORMULA nX@TONA DLQ NA^ALA TABLICY.
2. pUSTX ZNA^ENIQ FUNKCII f(x) IZWESTNY W TO^KAH : : : ; xn¡2; xn¡1; xn I TO^KA INTERPOLQCII x LEVIT WBLIZI TO^KI xn. eSTESTWENNYJ PORQDOK PRIWLE^ENIQ UZLOW xn; xn¡1; xn¡2; : : : . tAK VE, KAK W PREDYDU]EM SLU^AE, U^ITYWAQ PRI \TOM, ^TO PRI ZAMENE RAZDELENNOJ RAZNOSTI KONE^NOJ ARGUMENTOM U KONE^NOJ RAZNOSTI BUDET NAIMENX[IJ IZ ARGUMENTOW RAZDELENNOJ, IMEEM:
P (x |
|
+ th) = f |
|
+ t f |
|
+ |
t(t + 1) |
n |
n |
n¡1 |
|
||||
|
|
|
2! |
||||
2f |
|
+ |
t(t + 1)(t + 2) |
3f |
|
+ : : : : |
n¡2 |
|
n¡3 |
||||
|
3! |
|
|
|||
|TO — FORMULA nX@TONA DLQ KONCA TABLICY.
3. pUSTX ZNA^ENIQ FUNKCII f(x) IZWESTNY W UZLAH
: : : ; x¡2; x¡1; x0; x1; : : : I TO^KA INTERPOLQCII x LEVIT MEVDU x0 I x1. bUDEM PRIWLEKATX UZLY INTERPOLQCII W PORQDKE x0; x1; x¡1; x2; x¡2; : : : .
tOGDA TAK VE KAK W DWUH PREDYDU]IH SLU^AQH POLU^IM
P (x |
|
+ th) = f |
|
+ t f + |
t(t ¡ 1) |
2f |
¡1 |
+ |
(t + 1)t(t ¡ 1) |
3f |
¡1 |
+ |
|
|||||
|
|
|
|
3! |
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|||||
+ |
(t + 1)t(t ¡ 1)(t ¡ 2) |
4f |
¡2 |
+ |
(t + 2)(t + 1)t(t ¡ 1)(t ¡ 2) |
5f |
¡2 |
+ : : : : |
||||||||||
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
||
|TO — FORMULA nX@TONA - gAUSSA DLQ SEREDINY TABLICY.
zADA^A 1. pOKAZATX, ^TO ESLI FUNKCIQ g(x) TAKOWA, ^TO NA PROMEVUTKE [a; b] g(n)(x) > 0, TO NA \TOM PROMEVUTKE SISTEMA FUNKCIJ 1; x; x2; : : : ; xn¡1; g(x) ^EBY[EWSKAQ.
zADA^A 2. pOKAZATX, ^TO SISTEMA FUNKCIJ 1; ex; e2x; : : : ; enx ^EBY[EWSKAQ NA
L@BOM PROMEVUTKE.
x4 pOGRE[NOSTX INTERPOLQCII
pUSTX NA [a; b] ZADANY UZLY x0; : : : ; xn. dLQ FUNKCII f 2 C[a; b] EE INTERPOLQCIONNYJ POLINOM, POSTROENNYJ PO \TIM UZLAM, USLOWIMSQ OBOZNA^ATX ^EREZ Qnf, A ZNA^ENIE \TOGO POLINOMA W TO^KE x ^EREZ Qn(f; x). oTMETIM O^EWIDNYE SWOJSTWA:
1.Qnf 2 Pn;
2.Qn(®1f1 + ®1f2) = ®1Qnf1 + ®2Qnf2 (LINEJNOSTX);
15
3. DLQ L@BOGO Pn 2 Pn QnPn = Pn.
rAZNOSTX Rn(f; x) = f(x) ¡ Qn(f; x) ESTX POGRE[NOSTX (OSTATO^NYJ ^LEN) INTERPOLQCII.
tEOREMA 1. eSLI FUNKCIQ f n+1 RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA NA [a; b] (f 2 C(n+1)[a; b]), TO DLQ KAVDOJ TO^KI x 2 [a; b] NAJDETSQ TAKAQ TO^KA » 2 (a; b), ^TO
|
!(x) |
|
Rn(f; x) = |
(n + 1)!f(n+1)(»); !(x) = (x ¡ x0) : : : (x ¡ xn): |
(1) |
d O K A Z A T E L X S T W O. eSLI x SOWPADAET S ODNIM IZ UZLOW, TO (1) O^E- WIDNO — LEWAQ I PRAWAQ ^ASTI RAWNY NUL@. pRI x OTLI^NYM OT WSEH UZLOW WOSPOLXZUEMSQ SWOJSTWOM h5i RAZDELENNYH RAZNOSTEJ DLQ UZLOW x0; : : : ; xn; x. iMEEM:
f(x) = Qn(f; x) + !(x)f(x0; : : : ; xn; x);
I DLQ ZAWER[ENIQ DOKAZATELXSTWA OSTAETSQ WOSPOLXZOWATXSQ SWOJSTWOM h6i RAZDELENNYH RAZNOSTEJ. ¥
oSTANOWIMSQ NA DWUH ZADA^AH WYBORA UZLOW INTERPOLQCII. pUSTX U ½ C[a; b] — NEKOTORYJ KLASS NEPRERYWNYH FUNKCIJ. pRI ZADANNYH UZLAH INTERPOLQCII WWEDEM OBOZNA^ENIQ:
Rn(U; x) = sup jRn(f; x)j; |
Rn(U) = sup kRnfkC¡ |
f2U |
f2U |
POGRE[NOSTI (OSTATKI) INTERPOLQCII NA KLASSE U. dLQ KLASSA FUNKCIJ
¯
KC(n+1) = f f 2 C(n+1) ¯ kf(n+1)kC · K g (K > 0)
\TI POGRE[NOSTI LEGKO WY^ISLQ@TSQ: tEOREMA 2. sPRAWEDLIWY RAWENSTWA:
Rn(KC(n+1); x) = |
Kj!(x)j |
; |
Rn(KC(n+1)) = |
Kk!kC |
: |
|
(n + 1)! |
(n + 1)! |
|||||
|
|
|
|
d O K A Z A T E L X S T W O. tO, ^TO LEWAQ ^ASTX PERWOGO IZ \TIH RAWENSTW NE PREWOSHODQT PRAWOJ, SRAZU VE SLEDUET IZ TEOREMY 1. dOKAVEM OBRATNOE NERAWENSTWO. rASSMOTRIM FUNKCI@ f0(x) = (n+1)!K !(x). tAK KAK
16
f0(n+1) ´ K, |
TO f0 |
2 |
KC(n+1). o^EWIDNO, ^TO |
Qnf0 ´ 0, I POTOMU |
|
jRn(f0; x)j = |
jf0(x)j |
= |
Kj!(x)j |
, ^TO I ZAWER[AET |
DOKAZATELXSTWO PERWO- |
(n+1)! |
|||||
GO RAWENSTWA. wTOROE SLEDUET IZ PERWOGO WWIDU O^EWIDNOGO TOVDESTWA
Rn(KC(n+1)) = supx Rn(KC(n+1); x). ¥
pRI ZADANNOM KLASSE U (ILI KLASSE U I TO^KE x) WELI^INA Rn(U) (SOOTWETSTWENNO Rn(U; x)) ESTX FUNKCIQ UZLOW, I MOVNO STAWITX ZADA^U O MINIMIZACII \TOJ FUNKCIJ. tE UZLY, NA KOTORYH FUNKCIQ Rn(U) DOSTIGAET MINIMALXNOGO ZNA^ENIQ, NAZYWA@TSQ OPTIMALXNYMI UZLAMI DLQ KLASSA
U.
zADA^A 1. pUSTX NA PROMEVUTKE [a; b] ZADANO BOLX[OE KOLI^ESTWO UZLOW N > n + 1, W KOTORYH NAM IZWESTNY ZNA^ENIQ KAKIH-TO FUNKCIJ. nAS INTERESU@T ZNA^ENIQ \TIH FUNKCIJ W NEKOTOROJ TO^KE x, OTLI^NOJ OT WSEH UZLOW. dLQ WY^ISLENIQ \TIH ZNA^ENIJ MY HOTIM ISPOLXZOWATX INTERPOLQCI@ PO n+1 UZLU. zADA^A SOSTOIT W TAKOM WYBORE \TIH UZLOW IZ ^ISLA DANNYH, ^TOBY DLQ NEKOTOROGO ZADANNOGO KLASSA FUNKCIJ U WELI^INA Rn(U; x) BYLA MINIMALXNOJ. |TA ZADA^A LEGKO RE[AETSQ DLQ KLASSA U = KC(n+1). dEJSTWITELXNO, W POLU^ENNOM W TEOREME 2 PREDSTAWLENII OSTATKA OT UZLOW ZAWISIT TOLXKO MNOVITELX j!(x)j, EGO-TO I NUVNO MINIMIZIROWATX, A DLQ \TOGO SLEDUET WYBRATX IZ NA[IH N UZLOW BLIVAJ[IE K TO^KE x. zAMETIM, ^TO \TOT PRINCIP U^ITYWALSQ DLQ WYBORA PORQDKA PRIWLE^ENIQ UZLOW PRI POSTROENII INTERPOLQCIONNYH FORMUL S RAWNOOTSTOQ]IMI UZLAMI W x3.
zADA^A 2 — \TO ZADA^A O WYBORE OPTIMALXNYH UZLOW DLQ KLASSA U, T.E. TAKIH UZLOW, DLQ KOTORYH WELI^INA Rn(U) MINIMALXNA. rE[ATX \TU
ZADA^U BUDEM DLQ KLASSA FUNKCIJ KC(n+1)[¡1; 1]. |
|
|
|
|
|
FUNK- |
|||||||||
|
tEOREMA |
|
3. |
oPTIMALXNYMI |
UZLAMI |
DLQ |
KLASSA |
||||||||
CIJ |
|
(n+1) |
1; 1] |
QWLQ@TSQ KORNI |
POLINOMA |
~EBY[EWA |
T |
|
(x): |
||||||
xk = |
KC |
|
(2k+1)[¡¼ |
(k |
= 0; : : : ; n), NAZYWAEMYE UZLAMI |
|
|
|
|
n+1 |
|
||||
cos |
2n+2 |
|
~EBY[EWA. dLQ |
||||||||||||
\TIH UZLOW |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Rn(KC(n+1)[¡1; 1]) = |
K |
: |
|
|
|
|
|
(2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2n(n + 1)! |
|
|
|
|
|
|||||
|
d O K A Z A T E L X S T W O. dLQ UZLOW ~EBY[EWA !(x) |
|
˜ |
(x), I (2) |
|||||||||||
|
= Tn+1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
˜ |
|
|
1 |
|
|
|
|
NEMEDLENNO SLEDUET IZ TEOREMY 2 I RAWENSTWA kTn+1kC |
= |
2n |
. pOSKOLXKU |
||||||||||||
POLINOM ~EBY[EWA NAIMENEE UKLONQETSQ OT NULQ I DLQ L@BYH UZLOW !(x) ESTX POLINOM STEPENI n+1 SO STAR[IM KO\FFICIENTOM, RAWNYM 1, TO WSEGDA
|
|
|
|
|
17 |
|
˜ |
1 |
|
(n+1 |
|
K |
|
k!kC ¸ kTn+1kC = |
|
, I POTOMU DLQ L@BYH UZLOW Rn(KC |
|
) ¸ |
|
|
2n |
|
2n(n+1)! |
|
|||
¥
z A M E ^ A N I E. w SLU^AE PROIZWOLXNOGO PROMEVUTKA [a; b] OPTIMALXNYE UZLY DLQ KLASSA KC(n+1)[a; b] MOVNO POLU^ITX, ESLI S POMO]X@ LINEJNOJ ZAMENY PEREMENNOJ PROMEVUTOK [a; b] SWESTI K PROMEVUTKU [¡1; 1] — OBRAZY UZLOW ~EBY[EWA I BUDUT OPTIMALXNYMI UZLAMI DLQ \TOGO KLASSA, I DLQ \TIH UZLOW
R |
(KC(n+1)[a; b]) = |
µ |
b ¡ a) |
¶ |
n+1 |
K |
: |
2 |
|
2n(n + 1)! |
|||||
n |
|
|
|
dRUGOJ PODHOD K OCENKE POGRE[NOSTI INTERPOLQCII SWQZAN S PONQTIEM FUNKCIJ I POSTOQNNYH lEBEGA.
oPREDELENIE. fUNKCIEJ lEBEGA UZLOW x0; : : : ; xn NAZYWAETSQ
Xn
¸n+1(x) = jlk(x)j:
k=0
zDESX lk(x) — FUNDAMENTALXNYE POLINOMY INTERPOLQCII. pOSTOQNNOJ lEBEGA UZLOW NAZYWAETSQ ¸n+1 = maxx2[a;b] ¸n+1(x).
lEMMA. dLQ L@BOJ f 2 C[a; b] WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA
jQn(f; x)j · ¸n+1(x)kfkC; kQnfkC · ¸n+1kfkC: |
(3) |
d O K A Z A T E L X S T W O. pERWOE IZ NERAWENSTW (3) ESTX O^EWIDNOE SLEDSTWIE INTERPOLQCIONNOJ FORMULY lAGRANVA. dLQ DOKAZATELXSTWA WTOROGO DOSTATO^NO WZQTX MAKSIMUM PO x OT LEWOJ I PRAWOJ ^ASTI PERWOGO. ¥
tEOREMA 4. dLQ L@BOJ f 2 C[a; b] WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA jRn(f; x)j · ¡¸n+1(x) + 1¢En(f); kRn(f)k · (¸n+1 + 1)En(f):
d O K A Z A T E L X S T W O. pUSTX Pn 2 Pn — POLINOM NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ FUNKCII f. tOGDA IMEEM
jRn(f; x)j · jf(x) ¡ Pn(x)j + jPn(x) ¡ Qn(f; x)j = jf(x) ¡ Pn(x)j+
+ jQn(Pn ¡ f; x)j · En(f) + ¸n+1(x)kPn ¡ fkC = ¡¸n+1(x) + 1¢En(f):
18
|TIM DOKAZANO PERWOE NERAWENSTWO. wTOROE POLU^AETSQ IZ PERWOGO, ESLI W LEWOJ I PRAWOJ EGO ^ASTI PEREJTI K MAKSIMUMAM PO x. ¥
s FUNKCIEJ I POSTOQNNOJ lEBEGA SWQZANY WOPROSY SHODIMOSTI INTERPOLQCIONNYH POLINOMOW K FUNKCII. bUDEM GOWORITX, ^TO DLQ PROMEVUTKA [a; b] ZADAN INTERPOLQCIONNYJ PROCESS, ESLI PRI KAVDOM n NA \TOM PROMEVUTKE ZADANY UZLY xn0 ; : : : ; xnn. tOGDA Qn(f; x) — INTERPOLQCIONNYJ POLINOM FUNKCII f, POSTROENNYJ PO \TIM UZLAM. gOWORQT, ^TO INTERPOLQCIONNYJ PROCESS DLQ FUNKCII f SHODITSQ W TO^KE x (SHODITSQ RAWNOMERNO NA [a; b]), ESLI SOOTWETSTWENNO PRI n ! 1 BUDET Qn(f; x) ! f(x) ILI kf ¡ QnfkC ! 0 (T.E. Qnf SHODQTSQ K f RAWNOMERNO NA [a; b]). iZ TEOREMY 4 SRAZU VE WYTEKAET
sLEDSTWIE. eSLI DLQ NEKOTOROJ NEPRERYWNOJ FUNKCII f WYPOLNQETSQ SOOTNO[ENIE ¸n+1(x)En(f) ! 0, TO INTERPOLQCIONNYJ PROCESS DLQ \TOJ FUNKCII SHODITSQ W TO^KE x. eSLI VE ¸n+1En(f) ! 0, TO INTERPOLQCIONNYJ PROCESS DLQ NEE SHODITSQ RAWNOMERNO.
iZWESTNO, ^TO DLQ L@BOGO INTERPOLQCIONNOGO PROCESSA ¸n+1 ! 1. s \TIM SWQZANA TEOREMA fABERA (OBA \TIH UTWERVDENIQ OSTAWLQEM BEZ DOKAZATELXSTWA):
tEOREMA (fABER). dLQ L@BOGO INTERPOLQCIONNOGO PROCESSA NAJDETSQ TAKAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ, DLQ KOTOROJ \TOT PROCESS NE SHODITSQ RAWNOMERNO.
s FUNKCIEJ I POSTOQNNOJ lEBEGA SWQZANA E]E OCENKA POGRE[NOSTI W INTERPOLQCIONNOM POLINOME, WOZNIKA@]AQ WSLEDSTWIE NETO^NOGO WY^ISLENIQ ZNA^ENIJ FUNKCII W UZLAH. pUSTX PRI WY^ISLENII ZNA^ENIJ FUNKCII f(xk) MY DOPUSTILI O[IBKI "k, DLQ KOTORYH NAM IZWESTNY LI[X OCENKI j"kj · ". tOGDA WMESTO INTERPOLQCIONNOGO POLINOMA Qn(f; x) MY POLU^IM
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
¡ |
|
¢ |
|
||
|
Qn(f; x) = |
lk(x) f(xk) + "k |
; |
|||||||
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
TAK ^TO |
|
¯ n |
lk(x)"k |
¯ |
· ¸n+1(x)" |
|||||
jQn(f; x) ¡ Qn(f; x)j = |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
¯X |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯k=0 |
|
¯ |
|
|
19
I kQnf ¡ Qnfk · ¸n+1". oBE \TI OCENKI QWLQ@TSQ TO^NYMI W TOM SMYSLE, ^TO ESLI PRI WSEH k j"kj = " I "k IME@T SOOTWETSTWU@]IM OBRAZOM WYBRANNYE ZNAKI, TO \TO NERAWENSTWA OBRA]A@TSQ W RAWENSTWA.
pROSTEJ[IMI UZLAMI QWLQ@TSQ RAWNOOTSTOQ]IE: xk = a + kh, GDE h = (b¡a)=n, A k = 0; : : : ; n. pOKAVEM, ^TO \TI UZLY QWLQ@TSQ PLOHIMI W TOM OTNO[ENII, ^TO DLQ NIH POSTOQNNAQ lEBEGA RASTET ^REZWY^AJNO BYSTRO S ROSTOM n.
tEOREMA 5. dLQ POSTOQNNOJ lEBEGA RAWNOOTSTOQ]IH UZLOW WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO
¸n+1 > 3n 2 :
d O K A Z A T E L X S T W O. iMEEM ¸n+1 ¸ ¸n+1(x¤), GDE x¤ = a+h=2. lEGKO WIDETX, ^TO
l |
(x¤) |
j |
= |
|
(2n ¡ 1)!! |
|
|
|
|
|
> |
|
1 |
|
|
|
(2n ¡ 1)!! |
: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
j k |
|
|
|
|
2nk!(n |
¡ |
k)! 2k |
¡ |
j |
|
|
2n 2nk!(n |
¡ |
k)! |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
oTS@DA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸n+1 > |
|
|
1 |
|
(2n ¡ 1)!! |
|
n |
|
|
|
n! |
|
|
|
= |
|
1 |
|
(2n ¡ 1)!! |
: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k!(n k)! |
2n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2n 2nn! |
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
pROIZWEDQ O^ENX GRUBU@ OCENKU: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(2n ¡ 1)!! = 1 |
3 |
5 |
: : : 2n ¡ 1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
n |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
µ |
|
¶ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n! |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
n |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
PRIDEM K TREBUEMOMU. ¥
dOKAZANNAQ W TEOREME OCENKA PRAWILXNO POKAZYWAET HARAKTER POWEDENIQ ¸n+1, HOTQ I O^ENX GRUBA, ^TO POKAZYWAET SLEDU@]AQ TABLICA:
nOCENKA ¸n+1(x¤)
10 |
1:92 |
24:6 |
20 |
55:4 |
7391 |
40 |
92144 |
2:57 ¢ 109 |