Лекции по методам вычислений / GLAVA1

30

zADA^A 3. oPREDELITX NAILU^[IJ [AG h W FORMULE (4) PRI NALI^II O[IBOK OKRUGLENIQ W ZNA^ENIQH FUNKCII.

x7 tRIGONOMETRI^ESKAQ INTERPOLQCIQ. dISKRETNOE PREOBRAZOWANIE fURXE.

pERIODI^ESKIE FUNKCII ESTESTWENNO PRIBLIVATX PERIODI^ESKIMI. pROSTEJ[IMI 2¼-PERIODI^ESKIMI FUNKCIQMI QWLQ@TSQ TRIGONOMETRI^E- SKIE POLINOMY:

Xn

Tn(x) = a0 + (ak cos kx + bk sin kx):

k=1

eSLI HOTX ODIN IZ KO\FFICIENTOW an ILI bn OTLI^EN OT NULQ, TO n NAZYWAETSQ PORQDOKOM POLINOMA Tn. mNOVESTWO TRIGONOMETRI^ESKIH POLINOMOW PORQDKA NE WY[E n OBOZNA^IM ^EREZ Tn. oSNOWNYE SWOJSTWA TRIGONOMETRI- ^ESKIH POLINOMOW:

1)eSLI Tn; Un 2 Tn, TO I ®Tn + ¯Un 2 Tn (LINEJNOSTX);

2)WYRAVENIQ DLQ KO\FFICIENTOW (k = 1; 2; : : : ):

3) ESLI Tn 2 Tn ESTX ^ETNAQ FUNKCIQ, TO WSE bk = 0, A ESLI NE^ETNAQ, TO WSE ak = 0.

eSLI Tn IMEET KORENX x¤, TO ON IMEET BESKONE^NO MNOGO KORNEJ, TAKOWYMI QWLQ@TSQ x¤ + 2j¼. tAKIE KORNI NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI.

tEOREMA 1. oTLI^NYJ OT TOVDESTWENNOGO NULQ Tn 2 Tn IMEET NE BOLEE 2n POPARNO NE\KWIWALENTNYH KORNEJ.

d O K A Z A T E L X S T W O. iSPOLXZUQ FORMULY |JLERA

31

GDE ck I dk = ck¡n — KOMPLEKSNYE, WOOB]E GOWORQ, KO\FFICIENTY, P2n(z) =

P2n dkzk — POLINOM STEPENI NE WY[E 2n I z = eix. eSLI x0 — KORENX Tn,

k=0

TO z0 = eix0 — KORENX P2n, ESLI x0 I x1 — NE\KWIWALENTNYE KORNI Tn, TO z0 I z1 — RAZLI^NYE KORNI P2n, TAK ^TO P2n IMEET NE MENEE RAZLI^NYH KORNEJ, ^EM Tn POPARNO NE\KWIWALENTNYH. nO P2n IMEET NE BOLEE 2n RAZLI^NYH KORNEJ. ¥

sLEDSTWIE 1. sISTEMA FUNKCIJ 1; cos x; sin x; : : : ; cos nx; sin nx ^EBY- [EWSKAQ NA L@BOM PROMEVUTKE [a; b], ESLI TOLXKO b < a + 2¼.

sLEDSTWIE 2. kAKOWY BY NI BYLI TO^KI x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < x2n < x0 + 2¼ I ^ISLA f0; : : : ; f2n SU]ESTWUET I PRITOM EDINSTWENNYJ Tn 2 Tn, TAKOJ ^TO Tn(xk) = fk PRI k = 0; : : : ; 2n.

pRI PRIBLIVENII PERIODI^ESKOJ FUNKCII S POMO]X@ INTERPOLQCII TRIGONOMETRI^ESKIM POLINOMOM NA PERIODE ESTESTWENNO WYBRATX RAWNOOTSTOQ]IE UZLY, PRI^EM IH ^ISLO DOLVNO BYTX NE^ETNO, TAK ^TO xj = jh (j = 0; : : : ; 2n), h = 2¼=(2n + 1). w \TOM SLU^AE UDAETSQ POLU^ITX QWNOE WYRAVENIE KO\FFICIENTOW INTERPOLQCIONNOGO POLINOMA ^EREZ ZNA^ENIQ W UZLAH INTERPOLIRUEMOJ FUNKCII.

lEMMA 1. sPRAWEDLIWO RAWENSTWO

d O K A Z A T E L X S T W O. pRI m = 0 RAWENSTWO O^EWIDNO. eSLI 1 · m ·

2n, TO ¾m = 1+q+¢ ¢ ¢+q2n, GDE q = eimh 6= 1, I POTOMU ¾m = (1¡q2n+1)=(1¡ q) = 0, TAK KAK q2n+1 = e2m¼i = 1. ¥

sLEDSTWIE . sPRAWEDLIWY RAWENSTWA

32

d O K A Z A T E L X S T W O. dOSTATO^NO PRIRAWNQTX WE]ESTWENNU@ I MNI-

X2n

cos kxj sin lxj = 0:

j=0

d O K A Z A T E L X S T W O. s^ITAQ DLQ OPREDELENNOSTI k ¸ l I ISPOLXZUQ FORMULU

1

cos kxj cos lxj = 2[cos(k + l)xj + cos(k ¡ l)xj];

IMEEM

sOWER[ENNO ANALOGI^NO

iZ \TIH RAWENSTW I SLEDSTWIQ IZ LEMMY 1 LEGKO SLEDU@T DOKAZYWAEMYE.

¥

33

tEOREMA 2. kO\FFICIENTY POLINOMA Tn 2 Tn, RE[A@]EGO INTERPOLQCIONNU@ ZADA^U

Xn

Tn(xj) = a0 + (ak cos kxj + bk sin kxj) = fj; j = 0; : : : ; 2n; (1)

k=1

DA@TSQ FORMULAMI (k = 1; : : : ; n)

d O K A Z A T E L X S T W O. dOSTATO^NO UMNOVITX RAWENSTWA (1) NA cos lxj ILI sin lxj, PROSUMMIROWATX PO j OT 0 DO 2n I WOSPOLXZOWATXSQ LEMMOJ 2.

¥

nA FORMULY (1) I (2) WOZMOVNA NESKOLXKO DRUGAQ TO^KA ZRENIQ. pUSTX F = (f0; : : : ; f2n) PROIZWOLXNYJ WEKTOR. eGO KOMPONENTY MOVNO RASSMATRIWATX KAK ZNA^ENIQ W UZLAH xj NEKOTOROJ FUNKCII, I PO FORMULAM

(2) POSTAWITX EMU W SOOTWETSTWIE WEKTOR A = (a0; a1; b1; : : : ; an; bn). kOMPONENTY WEKTORA F WOSSTANAWLIWA@TSQ PO KOMPONENTAM WEKTORA A SOGLASNO FORMULAM (1). wEKTOR A NAZYWA@T DISKRETNYM PREOBRAZOWANIEM fURXE

WEKTORA F . pROCESS POSTROENIQ A MOVNO RASSMATRIWATX KAK PERERAZLOVENIE WEKTORA F PO NOWOMU BAZISU W PROSTRANSTWE R2n+1, KOMPONENTY NOWOGO BAZISNOGO WEKTORA QWLQ@TSQ ZNA^ENIQMI W UZLAH FUNKCII cos kx ILI sin kx. sU]ESTWO DOKAZANNOJ WY[E LEMMY 2 SOSTOIT W TOM, ^TO \TOT BAZIS QWLQETSQ ORTOGONALXNYM.

w WY^ISLITELXNOJ PRAKTIKE PRI RABOTE S NEKOTORYM WEKTOROM ^ASTO OKAZYWAETSQ UDOBNEE IMETX DELO S EGO DISKRETNYM PREOBRAZOWANIEM fURXE, I \TO PREOBRAZOWANIE NAHODIT [IROKOE PRIMENENIE.

nAPRIMER, PUSTX TREBUETSQ PEREDATX PO KANALU SWQZI 2n + 1 ^ISLO f0; : : : ; f2n. |TI ^ISLA MOVNO RASSMATRIWATX KAK ZNA^ENIQ W TO^KAH xj TRIGONOMETRI^ESKOGO POLINOMA: fj = Tn(xj). kO\FFICIENTY \TOGO POLINOMA WY^ISLQ@TSQ PO FORMULAM (2), I INOGDA IMENNO \TI KO\FFIUCIENTY

34

OKAZYWAETSQ CELESOOBRAZNYM PEREDAWATX PO KANALU SWQZI WMESTO ^ISEL fj (NAPRIMER, SREDI KO\FFICIENTOW MNOGO O^ENX MALENXKIH, I IH MOVNO ZAMENITX NULQMI). wOSSTANOWLENIE ^ISEL fj NA DRUGOM KONCE KANALA SWQZI PO POLU^ENNYM KO\FFICIENTAM TAKVE NETRUDNO.

sU]ESTWU@T I DRUGIE PREOBRAZOWANIQ WEKTOROW, TAKVE NAZYWAEMYE DISKRETNYM PREOBRAZOWANIEM fURXE. oSTANOWIMSQ NA ODNOM TAKOM PREOBRAZOWANII WEKTOROW S KOMPLEKSNYMI KOMPONENTAMI. dLQ y 2 CN USLOWIMSQ PISATX y = (y0; : : : ; yN¡1). w PROSTRANSTWE CN TAKIH WEKTOROW SKALQRNOE

PROIZWEDENIE ZADAETSQ FORMULOJ (y; z) = PN ykzk: pOLOVIM h = 1=N I

k=0

RASSMOTRIM W CN SISTEMU WEKTOROW

ek = (1; e2¼i(kh); e2¼i(2kh); : : : ; e2¼i(N¡1)kh) k = 0; : : : ; N ¡ 1:

|TI WEKTORY OKAZYWA@TSQ ORTOGONALXNYMI:

(ek; ej) = N±kj;

(DOKAZATELXSTWO PO SU]ESTWU SOWPADAET S DOKAZATELXSTWOM LEMMY 1) I POTOMU OBRAZU@T BAZIS W CN , TAK ^TO L@BOJ WEKTOR y MOVET BYTX RAZLOVEN PO \TOMU BAZISU:

wWIDU ORTOGONALXNOSTI BAZISA ek KO\FFICIENTY aj LEGKO NAHODQTSQ:

^TO MOVNO PEREPISATX E]E W WIDE

NX¡1

aN¡j = N1 k=0 yke2¼i(kjh); j = 1; : : : ; N:

35

wEKTOR (a0; : : : ; aN¡1) NAZYWAETSQ DISKRETNYM PREOBRAZOWANIEM fURXE (dpf) WEKTORA y.

wY^ISLENIE PREOBRAZOWANIQ fURXE WEKTORA y I WOSSTANOWLENIE \TOGO WEKTORA PO EGO PREOBRAZOWANI@ fURXE (NAHOVDENIE KOMPONENT yk) OSU- ]ESTWLQETSQ PO ODINAKOWYM (S TO^NOSTX@ DO MNOVITELQ 1=N) FORMULAM I TREBUET WY^ISLENIQ SUMM WIDA

NX¡1

yk = aje2¼i kjN :

j=0

eSLI MY RASPOLAGAEM TABLICEJ SOOTWETSTWU@]IH STEPENEJ e2¼i Nl , TO PRQMOE WY^ISLENIE WSEH yk TREBUET PROIZWESTI N2 UMNOVENIJ. ~ISLO ARIFMETI^ESKIH DEJSTWIJ MOVNO SU]ESTWENNO SOKRATITX, ESLI N ESTX PROIZWEDENIE NESKOLXKIH MNOVITELEJ. oGRANI^IMSQ SLU^AEM, KOGDA N = 2n. tOGDA POLAGAQ N1 = N=2 = 2n¡1 I z = e2¼i=N , IMEEM

(N = 1) dpf “WEKTORA” ESTX ON SAM, TAK ^TO q0 = 0. |TO POZWOLQET METODOM INDUKCII LEGKO DOKAZATX, ^TO qn = nN = N log2 N, TAK ^TO ^ISLO UMNOVENIJ PO SRAWNENI@ S PRIMENENIEM PRQMYH FORMUL SU]ESTWENNO SOKRA]AETSQ. nAPRIMER, PRI N = 210 = 1024 BUDET N2 > 106,A Nn = 10240,