- •Математичне програмування
- •0305 “Економіка та підприємництво” та 0306 „Менеджмент і адміністрування” Видання друге, доповнене, допрацьоване
- •Розділ 1. Загальні методичні вказівки з вивчення дисципліни
- •Та питання для самостійної перевірки знань Модуль 1. Лінійне програмування
- •Модуль 2. Двоїсті задачі, нелінійне та інші види математичного програмування
- •Розділ 3. Завдання для контрольної роботи
- •Завдання 2. Симплексний метод розв'язання задач лінійного програмування
- •Завдання 3. Двоїсті задачі лінійного програмування
- •Примітка. Розрахунки виконати для всіх небазисних змінни кінцевої симплексної таблиці прямої задачі.
- •Скласти план вантажних перевезень з мінімальним вантажообігом.
- •Площі попередників озимої пшениці, га
- •Площа сортів озимої пшениці, га
- •Середня урожайність озимої пшениці за попередниками, ц з 1 га
- •Завдання 5. Задачі нелінійного програмування
- •Визначимо головні мінори, починаючи з 2-го порядку
- •Отже, головні мінори визначаються множником
- •Тестові завдання Модуль 1. Лінійне програмування
- •1.12. В частинному розв’язку системи рівнянь при
- •1.13. В частинному розв’язку системи рівнянь при
- •1.14. Базисні невідомі, які складають допустимий розв’язок задачі лінійного програмування, можуть бути:
- •1.16. Небазисні невідомі задачі лінійного програмування:
- •1.17. Канонічна форма задачі лінійного програмування представляє собою систему:
- •1.18. Приведення загальної задачі лінійного програмування до канонічної форми виконується шляхом введення в кожне обмеження-нерівність по одній невідомій, яка називається:
- •Модуль 2. Двоїсті задачі, нелінійне та інші види математичного програмування
- •Відомість виконання тестових завдань
- •Приклад використання Excel для розв’язання симплексних задач лінійного програмування (лп)
- •Приклад використання Excel для розв’язання транспортних задач лінійного програмування (тлп)
- •Список рекомендованої літератури Підручники та навчальні посібники
- •Електронні ресурси
- •Володимир Петрович марченко Надія Іванівна гринчак Математичне програмування
- •0305 “Економіка та підприємництво” та 0306 „Менеджмент і адміністрування”
Площі попередників озимої пшениці, га
Варіанти (за передостанньою цифрою шифру, Р) |
Попередники |
|||
Ярі зернобобові |
Кукурудза на зел. корм |
Багаторічні трави |
Насінники багат. трав |
|
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
|
0 |
300 |
300 |
350 |
50 |
1 |
300 |
250 |
400 |
50 |
2 |
200 |
200 |
500 |
100 |
3 |
400 |
100 |
400 |
100 |
4 |
250 |
350 |
300 |
100 |
5 |
400 |
270 |
250 |
80 |
6 |
350 |
250 |
350 |
50 |
7 |
300 |
210 |
450 |
40 |
8 |
300 |
200 |
350 |
150 |
9 |
250 |
340 |
350 |
60 |
Таблиця 4.2
Площа сортів озимої пшениці, га
Варіанти (за останньою цифрою шифру, К) |
Сорти озимої пшениці |
||
Тіра |
Одеська 267 |
Донецька 48 |
|
D1 |
D2 |
D3 |
|
0 |
350 |
450 |
200 |
1 |
450 |
300 |
250 |
2 |
400 |
500 |
100 |
3 |
350 |
400 |
250 |
4 |
300 |
250 |
450 |
5 |
350 |
350 |
300 |
6 |
150 |
400 |
150 |
7 |
200 |
400 |
400 |
8 |
350 |
300 |
350 |
9 |
450 |
350 |
200 |
Таблиця 4.3
Середня урожайність озимої пшениці за попередниками, ц з 1 га
Попередники |
|
Сорти озимої пшениці |
||||||||
|
|
Тіра |
Одеська 267 |
Донецька 48 |
||||||
|
|
D1 |
D2 |
D3 |
||||||
Ярі зернобобові |
S1 |
47 |
48 |
49 |
||||||
Кукурудза на зелений корм |
S2 |
44 |
47 |
48 |
||||||
Багаторічні трави |
S3 |
52 |
56 |
51 |
||||||
Насінники багаторічних трав |
S4 |
50 |
56 |
48 |
Завдання 5. Задачі нелінійного програмування
Методика виконання завдання
Якщо в економіко-математичній моделі цільова функція представлена нелінійними диференційованими функціями, а обмеження лінійні, то для розв’язання таких задач застосується метод множників Лагранжа.
Нехай
Zext = f (x1, x2, … , xj, …, xn)
при обмеженнях:
gi (x1, x2, …, xj, …, xn) = bi, , i(1,m), j(1,n).
Ідея методу множників Лагранжа полягає в заміні даної задачі простішою: на знаходження більш складної функції, але без обмежень. Ця функція називається функцією Лагранжа і записується так: L (x1, x2, …, xj, …, xn, 1, 2, …, i, …, n) = f (x1, x2, …, xj, …, xn) + [bi – gi (x1, x2, …, xj, …, xn)],
де i – множники Лагранжа.
Знайшовши частинні похідні функції L за кожною з невідомих і прирівнявши їх до нуля, запишемо систему:
|
|
|
L / xj |
j(1,n)
|
|
L / i |
i(1,m) |
|
f (x1, x2,…, xj,…, xn)/xj+ (gi (x1,x2,…,xj, …, xn)/xj) |
j(1,n) |
bi – gi (x1, x2, …, xj, …, xn)=0 |
i(1,m) |
Розв’язавши цю систему, знаходимо стаціонарні точки:
x* = (x1, x2, …, xj, …, xn) та * = (1, 2, …, i, …, n).
Для визначення типу екстремуму необхідно дослідити в околі стаціонарних точок диференціали другого порядку (якщо для функцій Zext = f (x1, x2, …, xj, …, xn), gi (x1, x2, …, xj, …, xn) існують другі частинні похідні і вони неперервні ).
Для цього за функцією Лагранжа будується матриця Гессе, яка має блочну структуру розмірністю (m+n) х (m+n), де n – кількість невідомих задачі, а m –кількість обмежень:
O P
H =
P1 Q
де O - нульова матриця розмірністю mхm,
P - матриця розмірністю mхn, елементи якої визначаються так:
g1 (x) / x1 … g1 (x) / xn
Р = … … …
gm (x) / x1 …. gm (x) / xn
P1 - транспонована матриця до матриці Р розмірністю nхm,
Q - матриця розмірністю nхn виду
Q = 2 L(x, ) / xi xj , де i(1,m) , j(1,n).
Стаціонарна точка Х* з координатами x* = (x1, x2, …, xj, …, xn) та
* = (1, 2, …, i, …, n) має такі ознаки екстремуму:
1. Якщо починаючи з головного мінору порядку (m+1), наступні (n-m) головних мінорів матриці Гессе утворюють знакозмінний числовий ряд, знак першого члена якого визначається множником (-1)m+1, то точка Х* є точкою максимуму.
2. Якщо починаючи з головного мінору порядку (m+1), знак наступних
(n-m) головних мінорів матриці Гессе визначається множником ( -1)m, то точка Х* єточкою мінімуму.
Приклад 5.1. Розв’язати за методом множників Лагранжа:
Z = 4 x12 + 5 x22
при обмеженнях:
1) x1 + x2 = 9
x1 0; x2 0
Розв’язання. Запишемо функцію Лагранжа
L (x1, x2, ) = 4 x12 + 5 x22 + (9 - x1 - x2)
Прирівнявши до нуля частинні похідні цієї функції, отримаємо систему рівнянь:
L / x1 = 8x1 - = 0; = 8x1
L / x2 = 10x2 - = 0; = 10x2
L / = 9 - x1 - x2 = 0
Тоді 8x1 = 10x2, а x1 = 5/4 x2.
Підставивши x1 у рівняння 9 - x1 - x2 = 0, отримаємо:
x1 = 5, x2 = 4.
Побудуємо матрицю Гессе, спочатку визначивши
2 L / 2x1 = 8 та 2 L / 2x2 = 10 :
0 1 1
Н = 1 8 0
1 0 10