Примітка. Розрахунки виконати для всіх небазисних змінни кінцевої симплексної таблиці прямої задачі.

Завдання 4. Розв'язання транспортних задач методом потенціалів

Приклад 4.1. Потрібно перевезти мінеральні добрива з трьох складів (постачальники) ємністю по 200 т кожний до чотирьох господарств (споживачі), потреба яких в мінеральних добривах становить відповідно 150, 100, 150 та 200т. Відстані від складів до господарств наведені в таблиці 4.1.

Таблиця 4.1

Відстані від складів до господарств, км

Склади	Господарства
	S1	S2	S3	S4
D1	5	6	7	8
D2	8	9	10	11
D3	7	14	15	20

Скласти план вантажних перевезень з мінімальним вантажообігом.

Розв’язання. В даній задачі потреба всіх господарств у мінеральних добривах (150 + 100 + 150 + 200 = 600 т) дорівнює сумарній наявності добрив на складах (200  3 = 600 т). Тому транспортна задача називається закритою.

Умови задачі запишемо у вигляді таблиці 4.2.

Таблиця 4.2

Склади	Господарства				Наявність добрив, т
	S1	S2	S3	S4
D1	5	6	7	8	200
D2	8	9	10	11	200
D3	7	14	15	20	200
Потреба в добривах,т	150	100	150	200	600

Алгоритм методу потенціалів складається з таких етапів:

1) побудова опорного плану;

2) виконання розрахунків, що приводять до оптимального розв'язку.

Опорний план задачі можна отримати декількома методами:

1) діагональний або північно-західного кута - у верхню ліву клітину (північно-західний кут) записуємо максимально можливий вантаж 150 т, тоді всі інші клітини 1-ої колонки будуть незаповненими (небазисними). В клітину 1-го рядка 2-ої колонки можна поставити вантаж 200-150=50 т, тоді всі інші клітини 1-ого рядка будуть незаповненими. В клітину 2-го рядка 2-ої колонки можна поставити вантаж 100-50=50 т, тоді всі інші клітини 2-ої колонки будуть незаповненими. Розрахунки продовжуються до тих пір, поки не буде розподілений весь вантаж. Недоліком цього методу є те, що вантаж розподіляється без врахування вартості перевезення , внаслідок чого отримуємо опорний план задачі далекій від оптимального. Збільшується кількість ітерацій для отримання оптимального розв’язку, а перевагою - відсутність виродженого опорного плану задачі;

2) подвійної переваги - спочатку в кожному рядку і кожній колонці відмічаються клітини з найменшими оцінками c_{i j} . У клітини, які мають найменшу оцінку як по рядку, так і по колонці ставимо максимально можливий вантаж. Розрахунки продовжуються до тих пір, поки не буде розподілений весь вантаж. Недоліками цього методу є велика ймовірність отримання виродженого опорного плану, внаслідок чого потрібно виконати додаткові розрахунки для подолання виродженності, та трудоємкість пошуку клітин з найменшими оцінками як по рядку, так і по колонці при достатньо великих розмірах транспортної задачі, а перевагою - зменшення кількості ітерацій порівняно з методом північно-західного кута.

3) 'найкращого' елементу в матриці - знаходиться клітина матриці транспортної задачі з найменшою (при розв'язанні задачі на мінімум цільової функції) або найбільшою (при розв'язанні задачі на максимум цільової функції) оцінкою, в яку ставиться максимально можливий вантаж, потім наступна за нею і т.д. поки не буде розподілено весь вантаж. Недоліки і переваги - цього методу такі ж, як і в методі подвійної переваги.

Для отримання допустимого опорного плану задачі за будь-яким із наведених вище методів повинні виконуватися такі умови:

1) транспортна задача повинна бути закритою. Для перетворення відкритої транспортної задачі в закриту вводяться фіктивні постачальник або споживач з нульовими оцінками клітин та потужністю, яка дорівнює різниці між сумарними потужностями постачальників та споживачів;

2) при розрахунках повинен забезпечуватися баланс вантажів по кожному рядку і по кожній колонці транспортної таблиці;

3) заповнені клітини (базисні невідомі) в транспортній таблиці не повинні утворювати циклів (замкнутих контурів);

4) кількість заповнених клітин в транспортної таблиці повинна дорівнювати m + n – 1, де m - кількість рядків, а n - кількість колонок. Якщо кількість заповнених клітин менше m + n – 1, то отриманий опорний план задачі буде виродженим. Для подолання виродженості кількість заповнених клітин доповнюється нуль-поставками до m + n – 1, але так щоб сукупність заповнених клітин разом з нуль-поставками не утворювала циклів.

Опорний план задачі побудуємо методом ‘найкращого’ елементу в матриці.

У матриці найменша відстань – це відстань від складу D₁ до господарства S_1, яка дорівнює 5 км. Потреба в добривах S₁ господарства – 150 т, тому в клітину (D_1,S₁) ставимо число 150 (транспортна таблиця 1). Але на D₁ складі ще залишається добрива в кількості 200-150 = 50т. Ці добрива доцільно перевезти до господарства S₂ (відстань 6 км), тому в клітину (D_1,S₂) ставимо число 50.

Переходимо до розподілу мінеральних добрив із D₂ складу. Найближча відстань від D₂ складу до S₁ господарства (8 км), але потреба в добривах для S₁ господарства уже задоволена. Тому добрива перевозимо до господарства S₂ (9 км) в кількості 100 – 50 = 50 т, а до S₃ (10 км) – 200 - 50 = 150 т. Ставимо в клітинах (D_2,S₂) і (D_2,S₃) відповідно числа 50 і 150.

Зі складу D₃ мінеральні добрива можна перевезти тільки до господарства S₄, тому що три перших свої потреби вже задовольнили. Ставимо в клітину (D_3,S₄) число 200.

Застосування методу потенціалів можливо тільки тоді, коли кількість базисних змінних (заповнених клітин) в транспортній таблиці дорівнює m + n – 1 = 3 + 4 – 1 = 6, де m – кількість рядків (складів), а n – кількість колонок (господарств).

В транспортній таблиці 1 кількість заповнених клітин дорівнює 5, тому вводимо ‘нуль-поставку’, але так, щоб заповнені клітини разом з ‘нуль-поставкою’ не складали циклу (поняття ‘цикл’ буде розглянуто нижче). Обсяг вантажоперевезень побудованого опорного плану складає:

Z₁=1505+506+509+15010+07+20020 = 7000ткм

Для перевірки оптимальності задачі визначимо потенціали рядків (u_i) та колонок ( v_j).

Умови оптимальності розв'язку транспортної задачі такі:

u_i+v_j=c_ij – для базисних змінних (заповнені клітини);

u_i+ v_j c_ij – для небазисних змінних (незаповнені клітини) при розв'язанні задачі на мінімум цільової функції;

u_i+v_j  c_ij – для небазисних змінних (незаповнені клітини) при розв'язанні задачі на максимум цільової функції, де с_ij – оцінка клітини (відстань від і-го складу до j-го господарства).

Транспортна таблиця 1

Склади	Господарства								Наявність добрив, т	Потенціали рядків, uі
	S1		S2		S3		S4
D1	150	5	50	6		7		8	200	u1=0
	-						+
D2		8	50	9	150	10		11	200	u2=3
D3	0	7		14		15	200	20	200	u3=2
	+						-
Потреба в добривах, т	150		100		150		200		600
Потенціали колонок, vj	v1=5		v2=6		v3=7		v4=18

Складемо систему рівнянь для заповнених клітин транспортної таблиці 2:

u₁+v₁ = 5; u₁+v₂ = 6; u₂+v₂ = 9;

u₂+v₃ = 10; u₃+v₁= 7; u₃+v₄= 20

Поклавши, наприклад, u₁=0, одержимо значення потенціалів, які запишемо в транспортну таблицю 2.

v₁=5-u₁=5-0=5 v₂=6-u₁=6-0=6............u₂=9-v₂=9-6=3 v₃=10-u₂=10-3=7 u₃=7-v₁=7-5=2 v₄=20-u₃=20-2=18

Перевіримо виконання умови оптимальності для незаповнених клітин

(u_i+ v_j c_ij) :

-:клітина (D1,S3) 0+7=7 – умова виконується; клітина (D1,S4) 0+18>8 – умова не виконується на 10 одиниць; клітина (D2,S1) 3+5=8 – умова виконується; клітина (D2,S3) 2+6 <14 – умова виконується;клітина (D2,S4) 3+18 >11 – умова не виконується на 10 одиниць; клітина (D3,S3) 2+7 <15 – умова виконується.

Таким чином, опорний план не оптимальний, тому що умова оптимальності не виконується для клітин (D1,S4) та (D₂,S₄). Цей план можна наблизити до оптимального, якщо до однієї з ‘неоптимальних’ клітин побудувати ‘цикл’. При цьому вибирається та клітина, для якої різниця між сумою потенціалів і оцінкою клітини найбільша. В зв'язку з тим, що для клітини (D₁,S₄) та (D₂,S₄) ця різниця однакова, вибираємо ту, де оцінка клітини найменша (D₁,S₄). В транспортній таблиці 2 побудуємо цикл до клітини (D₁,S₄).

Цикл – це набір клітин, який будується за такими правилами:

1. Перша клітина – це вибрана незаповнена, а всі інші клітини циклу повинні бути заповненими.

2. Будь-якому рядку або будь-якій колонці можуть належати тільки дві вершини циклу.

3. Перехід від однієї клітини до іншої може бути тільки в заповненій клітині під кутом 90^о.

4. Цикл повинен замикатися на першій (вибраній) незаповненій клітині (тобто там, де він починався). Цикли можуть бути різної конфігурації, наприклад:

Після побудови циклу в незаповнену клітину (D₁,S₄) ставимо знак ‘+’, а далі у вершинах циклу знаки ‘-’, ‘+’, ‘-’ таким чином, щоб у будь-якому рядку або у будь-якій колонці були тільки протилежні знаки, тобто ‘+’ і ‘-’. Отримуємо додатній ‘півцикл’ з вершинами (D₁,S₄) та (D₃,S₁) і від'ємний ‘півцикл’ з вершинами (D₁,S₁) та (D₃,S₄). У від'ємному ‘півциклі’ знаходимо вершину з найменшим числом. Це клітина (D₁,S₁) з числом 150. Тепер це число додаємо в клітинах із знаком ‘+’ і віднімаємо в клітинах із знаком ‘-’. В результаті отримуємо новий базисний розв'язок транспортної задачі (транспортна таблиця 2).

Транспортна таблиця 2

Склади	Господарства								Наявність добрив, т	uі
	S1		S2		S3		S4
D1		5	50	6		7	150	8	200	0
			-				+
D2		8	50	9	150	10		11	200	3
D3	150	7		14		15	50	20	200	12
			+				-
Потреба в добривах, т	150		100		150		200		600
vj	v1=-5		v2=6		v3=7		v4=8

Обсяг вантажоперевезень складає:

Z₂ = 506+1508+509+15010+1507+5020=5450 ткм

Розв'язок в транспортній таблиці 2 знову треба перевірити на оптимальність. Для цього складемо систему рівнянь для заповнених клітин (u_i+v_j=c_ij)

u₁+v₂ = 6; u₁+v₄ = 8; u₂+v₂ = 9;

u₂+v₃ = 10; u₃+v₁= 7; u₃+v₄ = 20

Поклавши u₁=0, одержимо потенціали

v₂=6-u₁=6-0=6 v₄=8-u₁=8-0=8 u₂=9-v₂=9-6=3

v₃=10-u₂=10-3=7 u₃=20-v₄=20-8=12 v₁=7-u₃=7-12=-5

які запишемо в транспортну таблицю 2.

В транспортній таблиці 2 перевіримо виконання умови оптимальності для незаповнених клітин (u_i+v_j c_ij):

• клітина (D₁,S₁) 0+(-5)< 5 – умова виконується;

• клітина (D₁,S₃) 0+7=7 – умова виконується;

• клітина (D₂,S₁) 3+(-5)<8 – умова виконується

- клітина (D₂,S₄) 3+8 =11 – умова виконується;

• клітина (D₃,S₂) 12+6 >14 – умова не виконується на 4 одиниці;

• клітина (D₃,S₃) 12+7 >15 – умова не виконується на 4 одиниці;

В транспортній таблиці 2 розв'язок не оптимальний, тому що для клітин (D₃,S₂) та (D₃,S₃) умова оптимальності не виконується. До клітини (D₃,S₃) в транспортній таблиці 2 побудуємо цикл. У від'ємному ‘півциклі’ знаходимо найменше число (50) і додаємо його у заповнених клітинах із знаком ‘+’ та віднімаємо у клітинах із знаком ‘-’. В результаті отримуємо новий розв'язок транспортної задачі, який запишемо в транспортній таблиці 3.

Транспортна таблиця 3

Склади	Господарства								Наяв ність	uі
	S1		S2		S3		S4
D1		5	0	6		7	200	8	200	0
D2		8	100	9	100	10		11	200	3
D3	150	7		14	50	15		20	200	8
Потреба	150		100		150		200		600
vj	-1		6		7		8

Z₃= 2008+01009+10010+1507+5015=5300 ткм

Перевіримо опорний план в транспортній таблиці 3 на оптимальність. В зв'язку з тим, що в транспортній таблиці 3 не виконується умова m+n-1, в клітину (D₁,S₂) вводимо ‘нуль-поставку’. Поклавши u₁=0, одержимо значення потенціалів: v₁= -1, v₂ = 6, v₃ = 7, v₄ = 8, u₂ =3, u₃=8

Перевіримо виконання умови оптимальності для незаповнених клітин (u_i+v_j c_ij):

• клітина (D1,S1) 0+(-1)< 5– умова виконується;

• клітина(D₁,S₃) 0+7=7 – умова виконується;

• клітина (D₂,S₁) 3+(-1)<8 – умова виконується;

• клітина (D₂,S₄) 3+8 =11 – умова виконується;

• клітина (D₃,S₂) 8+6 =14 – умова виконується;

• клітина (D₃,S₄) 8+8 <20 – умова виконується.

Таким чином, розв'язок задачі в транспортній таблиці 3 є оптимальним.

Висновки. Мінеральні добрива потрібно перевозити:

- зі складу D₁ до господарства S₄–200 т;

- зі складу D₂ до господарства S₂ –100 т і до господарства S₃ –100 т;

- зі складу D₃ до господарства S₁ –150 т і до господарства S₃–50 т.

Обсяг вантажоперевезень буде дорівнювати 5300 ткм, що на 1700 ткм менше, ніж у початковому плані (Z₁-Z₃=7000-5300).

Зауваження 1. Якщо сумарні запаси вантажу не дорівнюють сумарним потребам у ньому, то така транспортна модель називається відкритою. В зв'язку з тим, що метод потенціалів можна застосовувати тільки до закритої транспортної задачі, відкрита транспортна задача перетворюється у закриту шляхом введення фіктивного постачальника або фіктивного споживача. Оцінки всіх його клітин дорівнюють нулю.

Нехай, наприклад, в наведеній транспортній задачі наявність мінеральних добрив на D₃ складі дорівнює не 200 т, а 250 т. Тоді сумарна наявність добрив буде дорівнювати 200 + 200 + 250 =650 т, а потреба в них господарств дорівнює – 150 + 100 + 150 + 200 = 600 т.

Введемо фіктивне господарство, потреба в мінеральних добривах для якого буде дорівнювати 650 – 600 = 50 т. Тоді відкрита модель перетворюється в закриту і розв'язується за допомогою розглянутого вище методу потенціалів

Тоді транспортна таблиця буде мати такий вигляд:

Склади	Господарства					Наявність добрив, т
	S1	S2	S3	S4	S5 -фіктивне
D1	5	6	7	8	0	200
D2	8	9	10	11	0	200
D3	7	14	15	20	0	250
Потреба в добривах, т	150	100	150	200	50	650

З

Х₁

адачі для контрольної роботи

Задача 4. Потрібно скласти такий план розміщення сортів озимої пшениці за попередниками, щоб очікуваниваловий збір зерна був максимальним. Площі попередників та посівні площі сортів озимої пшениці наведені в таблицях 4.1, 4.2, а середня урожайність сортів озимої пшениціза попередниками в таблиці 4.3.

Таблиця 4.1