Розділ 3. Завдання для контрольної роботи

Завдання 1. Графічний метод розв'язання задач лінійного програмування

Приклад 1.1.. Для виробництва зерна озимої пшениці та кукурудзи в господарстві виділено 600 га ріллі та 32000 людино-годин. Затрати праці та урожайність (в розрахунку на 1 га) характеризуються такими показниками:

Показники	Пшениця	Кукурудза
Затрати праці, людино-годин	40	80
Урожайність, ц	50	70

Відомо, що посівна площа кукурудзи повинна бути не менша 100 га. Знайти посівні площі озимої пшениці та кукурудзи, які б забезпечили максимум виробництва зерна.

Розв'язання. Для формулювання економіко-математичної моделі задачі введемо такі позначення:

х₁ - посівна площа озимої пшениці, га

х₂ – посівна площа кукурудзи, га

Z - обсяг виробництва зерна, ц.

Тоді, умови задачі в математичній формі будуть записані так:

1. Умова використання ріллі: посівні площі озимої пшениці та кукурудзи не повинні перевищувати площі ріллі:

х₁ + х₂ 600

2. Умова використання трудових ресурсів: затрати праці на вирощування с.-г. культур не повинні перевищувати обсягу трудових ресурсів:

40х₁+80х₂ 32000

3. Умова обмеження площі кукурудзи: посівна площа кукурудзи на зерно повинна бути не менше 100га:

х₂ 100

4. Умова невід'ємності змінних: посівні площі сільськогосподарських культур не можуть бути від'ємними числами:

х₁ 0; х₂ 0

Кінцеву мету задачі – отримання максимуму зерна - запишемо як функцію двох змінних х₁ і х₂

Z_{ma x}= 50х₁ + 70х₂

Наведена лінійна функція називається цільовою функцією і разом із системою умов (обмежень) представляє собою математичну модель задачі.

Оскільки модель містить тільки дві змінні, задачу можна розв'язати графічно. Для цього в системі координат Х₁ОХ₂ представимо нерівності і цільову функцію. Нерівності являють собою напівплощини, межами яких є прямі лінії, визначені рівняннями:

х₁+х₂ = 600 (L₁)

40х₁+80х₂ = 32000 (L₂)

х₂ = 100 (L₃)

Кожну з цих прямих можна побудувати в системі координат Х₁ОХ₂ , якщо для кожної прямої знайти принаймні дві точки, які їй належать.

Рис.1 . Графічний метод лінійного програмування

Наприклад, для рівняння х₁ + х₂ = 600: якщо х₁ = 0, то х₂ = 600, а якщо х₂ = 0, то х₁ = 600.Через точки (0,600) та (600,0) проведемо пряму L₁ (рис.1). Пряма L₁ поділяє площину на дві напівплощини, в одній із яких виконується обмеження х₁ + х₂  600.

Для того, щоб визначити, для якої напівплощини виконується обмеження х₁ + х₂  600, потрібно взяти координати будь-якої точки і перевірити, чи виконується для цієї точки нерівність х₁ + х₂  600. Аналогічно побудуємо прямі L₂ та L₃ (див. рис.1.)

При перетині напівплощини в системі координат Х₁ОХ₂ утворюють спільну частину, яка називається багатокутником допустимих розв'язків (АВСD). Кожна точка цього багатокутника є розв'язком задачі, тому що всі обмеження виконуються в цій точці.

Оптимальний розв'язок можна знайти, якщо визначити, в якому напрямку зростає цільова функція:

Z_max= 50x₁ + 70x₂

Для цього побудуємо вектор N з координатами точок О(0,0) - початок координат та N(50, 70) - оцінки невідомих цільової функції. В точці О проведемо до вектора N перпендикуляр, який відповідає лінії рівня цільової функції Z=0. Значення Z зростає в напрямку вектора N (див. рис. 1), тому пряму Z=0 пересуваємо паралельно саму до себе в напрямку вектора N до тих пір, поки вона не торкнеться крайньої точки (вершини) багатокутника допустимих розв'язків АВСD. Як бачимо оптимальний розв'язок задачі знаходиться в точці С, яка одночасно належить і багатокутнику допустимих розв'язків АВСD і лінії рівня цільової функції Z_max =50х₁+70х₂.

На рис. 1 видно, що точка С є точкою перетину прямих L₁ і L₂ і тому, щоб визначити х₁ і х₂, потрібно розв'язати систему рівнянь:

х₁+х₂=600

40х₁+80х₂=32000

Розв'язок системи рівнянь: х₁=400; х₂=200.

Висновки. Отриманий розв'язок означає, що площа озимої пшениці становить 400 га, (х₁=400), а кукурудзи – 200 га (х₂=200).Виробництво зерна становить Z=50400+70200=34000 ц.

П овністю використана площа ріллі (400+200=600) та трудові ресурси (40400+80200=32000). Площа кукурудзи перевищує задану на 100 га (200-100=100).

Рис. 2. Випадки розв’язання задач лінійного програмуваyння графічним методом

Примітки:

1. При розв'язанні задач на мінімум цільової функції лінію рівня цільової функції Z=0 потрібно пересувати паралельно саму до себе в напрямку зменшення, тобто в протилежному напрямку вектора N (див. рис. 1.).

2. При розв'язанні задач лінійного програмування графічним методом можливі такі випадки:

• багатокутник допустимих розв'язків задачі обмежений: в цьому випадку лінійна форма досягає свого максимуму або мінімуму в кутовій точці багатокутника або на його ребрі. Якщо лінія рівня цільової функції паралельна цьому ребру (рис. 2, а), то в цьому випадку маємо множину оптимальних розв'язків задачі;

• багатокутник допустимих розв'язків задачі необмежений: тоді лінійна форма або досягає екстремуму на ньому на деяких нескінченних паралельних гранях, або є необмеженою на множині планів лише знизу чи лише зверху, або ж необмеженою і знизу, і зверху (рис. 2 б, в);

• багатокутника допустимих розв'язків задачі не існує, тому що система умов задачі суперечлива (рис. 2 г).

З

Х₁

адачі для контрольної роботи

Задача 1. Знайти площі посівів зернових фуражних культур з метою мінімізації затрат праці їх вирощування. Вихід поживних речовин та затрати праці на вирощувння сільськогосподарських культур ( в розрахунку на 1га ) наведені в таблиці 1.1:

Таблиця 1.1

Показники	Кукурудза на зерно	Горох
Вихід кормових одиниць, ц	70	40
Вихід перетравного протеїну, ц	4	6
Затрати праці, людино-годин	40	30

Планові завдання виробництва кормів та площа ріллі наведені в табл. 1.2.

Таблиця 1.2

Варіанти (за передостанньою цифрою шифру, Р)	Планові завдання виробництва, ц		Площа ріллі, га
	кормових одиниць	перетравного протеїну
0	14000	1200+10К	500
1	15000	1300+10К	510
2	16000	1400+10К	520
3	17000	1500+10К	530
4	18000	1700+10К	540
5	19000	1800+10К	550
6	20000	1900+10К	560
7	21000	2000+10К	570
8	22000	2100+10К	580
9	23000	2200+10К	590