§ 7. Центр параллельных сил.

Дана система параллельных сил F₁, F₂,… F_n, которые приводятся к равнодействующей.

Центром параллельных сил называется точка приложения равнодействующей силы, обладающая тем свойством, что при повороте всех параллельных сил на один угол, с сохранением их параллельности, равнодействующая поворачивается вокруг центра параллельных сил С на тот же угол.

Координаты центра параллельных сил даются формулами:

, , ,

где X_k, Y_k, Z_k-координаты точек приложения сил тяжести P_k частиц тела. где X_k, Y_k, Z_k-координаты точек приложения сил тяжести P_k частиц тела.

Fк – величина силы, а Fк – проекция силы Fк на ось, параллельную силам. При этом проекция силы считается положительной, если направление силы Fк и параллельной оси совпадают, и отрицательной, если направление силы Fк и параллельной оси противоположны. На любую частицу тела, находящуюся вблизи земной поверхности, действует направленная вертикально вниз сила, называемая силой тяжести.

Для тел, размеры которых очень малы по сравнению с земным радиусом, силы тяжести, действующие на частицы тела, можно считать параллельными друг другу и сохраняющими для каждой частицы постоянную величину при любых поворотах тела.

Равнодействующая Р сил Рк будет являться центром параллельных сил тяжести Рк. Эта точка и называется центром тяжести тела.

Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, определяются формулами:

Xc = , Ус = , Zc = ,

Где Xк, Ук, Zк – координаты точек приложения сил тяжести Рк частиц тела

§ 8 Координаты центров тяжести однородных тел.

Для однородного тела вес p_k любой его части пропорционален объему V_k этой части:

p_k=γV_k, а вес Р всего тела = γV, где γ – вес единицы объема.

Подставив эти значения Р и p_k в формулы для координат центра тяжести, получим:

, ,

V_k – объём k-той материальной частицы.

x_k,, y_k, z_k, - координаты точки приложения силы тяжести этой частицы.

V – объём твердого тела.

Как видно, центр тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы.

В случае однородной пластинки, расположенной в плоскости XY, формулы центра тяжести принимают вид:

, ,

Суммы и называются статическими моментами площади относительно оси y и x соответственно.

Статические моменты площади в тех случаях, когда это необходимо могут быть записаны через интеграл:

, , ,

§ 9 Способы определения координат центров тяжести тел.

Центр тяжести площади однородного прямоугольника расположен в точке пересечения его диагоналей.

Центр тяжести площади однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан.

Если центр тяжести C однородной плоской фигуры лежит на некоторой оси, то статический момент площади относительно этой оси равен нулю.

Если в однородном твердом теле имеется плоскость симметрии, то центр тяжести C лежит в этой плоскости. Если же в теле имеется ось симметрии, то центр тяжести C лежит на этой оси.

Наиболее распространенным приемом определения центра тяжести однородного твердого тела является мысленная разбивка тела на такие части, положение центра тяжести каждой из которых известно, либо легко может быть определено.

, ,

Если тело имеет вырезы, то соответствующие слагаемые в формулах координат центра тяжести входят со знаком минус.

Задача.

Определить положение центра тяжести C площади поперечного сечения однородного штампа.

Первый способ:

Второй способ: