Закрытое хеширование

При закрытом хешировании в закрытой таблице сегментов хранятся не заголовки списков, а сами элементы множества. Поэтому в каждом сегменте может храниться только один элемент.

При закрытом хешировании применяется методика повторного хеширования, т.е. если мы пытаемся поместить элемент x в сегмент с номером h(x), который уже занят другим элементом (коллизия), то в соответствии с методикой повторного хеширования выбирается последовательность других номеров сегментов h₁ (x), h₂ (x)…, куда можно поместить элемент х. Каждый из них проверяется, пока не будет найдено свободное местоположение (сегмент), если свободных сегментов нет, то таблица заполняется, и элемент х вставить нельзя.

B=8

a, b, c, d

h(a)=3, h(b)=0, h(c)=4, h(d)=3

empty, deleted

методика линейного хеширования: h₁ (x)= (h(x)+i)mod B

0	в
1
2
3	а
4	с
5	d
6
7

Если допускается удаление элементов, то при достижении пустого сегмента и не найдя элемента х, мы не можем быть уверены, что его нет вообще в хеш-таблице, т.к. сегмент может стать пустым уже после вставки элемента х. Поэтому для увеличения эффективности при поиске элемента Х в хеш-таблице вводится константа delete, которая помещается в сегмент после удаления элемента данного сегмента.

Анализ закрытого хеширования

В случае закрытого хеширования скорость выполнения вставки и других операций зависит не только от равномерности распределения элементов по сегментам хеш-функций, но и от методики повторного хеширования. Методика линейного хеширования не является лучшим выбором, т.к. при непрерывном расположении заполненных сегментов, увеличивается время вставки и других операций.

Определим, сколько необходимо сделать проверок на заполненность сегментов при вставке нового элемента. Предполагая, что в хеш-таблице, состоящей из В сегментов, содержится N элементов и все комбинации расположения N элементов в В сегментах равновероятны. Вероятность коллизии =. Предполагая, что коллизия совершилась на первом этапе повторного хеширования, работаем с В-1 сегментами, где находитсяN-1 элемент. Тогда вероятность возникновения двух подряд коллизий =. Отсюда следует дляi коллизий .

Среднее количество проб =

для i коллизий, встречающихся подряд

среднее число проб на один сегмент при заполнении М сегментов =

или

для М=В следовательно

Если 90% заполнения М=0,9В, то

приблизительно равно 2,56В

При проверке на принадлежность множеству элемента, которого нет в этом множестве, требуется в среднем такое же количество проб как и при вставке нового элемента при данном заполнении таблицы.

Проверкана принадлежность элемента, который принадлежит множеству, требует в среднем столько же проб, сколько необходимо для вставки всех элементов, сделанных до настоящего времени.

Удаление требует столько же проб, сколько и проверка элемента на принадлежность множеству. В отличии от открытого хеширования при закрытом хешировании удаление элементов из таблицы не ускоряет операцию вставки нового элемента и проверки элемента на принадлежность множеству.

“Случайные” методики разрешения коллизий

любая методика повторного хеширования, где очередная проба зависит только от предыдущей, обнаруживает группирующие свойства линейного хеширования.

Рассмотрим методику:

h₁ (x)= (h(x)+i)mod B, где d_i є [1;B-1]

d_i –“случайные” перестановки чисел 1,2,…,В-1.

Набор чисел d_i должен использоваться при реализации всех операций, выполняемых над множеством, а перемешивание целых чисел должно быть выбрано еще при разработке алгоритма хеширования.

Одним из эффективных методов перемешивания целых чисел является метод последовательных сдвигов регистров.

Пусть В является степенью числа 2, К - константа из интервала є [1;B-1], далее генерируется последовательность d_i путем удвоения предыдущего значения до тех пор, пока последнее значение не превысит В, тогда чтобы получить следующее d_i из последнего значения отнимается число В и результат суммируется по mod2 с константой К.

Замечание:не для каждого значения К можно получить все переменные значения из интервала [1;В-1], поэтому необходимо для каждого значения В подобрать свое значение К.

Пример:

В=8, К=3 [1;7] d₁=101=5

сдвиг	1010
удаление ведущую единицу	010
+3	d2=001=1
Сдвиг	d3=010=2
Сдвиг	d4=100=4
Сдвиг	1000
удаление ведущую единицу	000
+3	d5=001=5
Сдвиг	d6=110=6
Сдвиг	1100
Удаление ведущего Нуля	100
+3	d7=111=7

Полный перемешанный набор чисел 1,…,7 можно получить также для К=5, но не при каких других значениях.