31. Определенный интеграл.

Если функция F(x)+C непрерывна на отрезке [a; b], то приращение первообразной F(b)-F(a) называется определенным интегралом. .

32. Формула Ньютона – Лейбница. Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции

S=F(b) – F(a) и S=ин ab f(x)dx, приходим к выводу: если F - первообразная для f на [a;b], то ин ab f(x)dx=F(b)-F(a), Эта формула верна для любой функции f, непрерывной на отрезке [a;b].

33. Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь плоских фигур вычесляется с помощью определенного интеграла следующими формулами в следующих случаях. 1). S=ин ab f(x)dx. 2). S=S1+S2=ин ac f(x)dx+ин cb g(x)dx. 3). S=S1-S2=ин ab f(x)dx-ин ab g(x)dx=ин ab (f(x)-g(x))dx. 4. S=ин ab f(x)dx. 5). y=f(x) следовательно x=фи(y) y=2\x следоват x2\y.

Геометрия

1. Многоугольник. В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно (гёометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью. Многогранник—это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины — вершинами многогранника.

2. Призма. Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины,— боковыми ребрами призмы. Так как параллельный перенос есть движение, то основания призмы равны. Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у призмы основания лежат в параллельных плоскостях. Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у призмы боковые ребра параллельны и равны. Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из параллелограммов. У каждого из этих параллелограммов две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие — соседними боковыми рёбрами. Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований Отрезок, соединяющий две вершины призмы не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы. Призма называется n-угольной, если ее основания — n-угольники.

3. Правильная призма. Призма называется правильной если в ее основании лежит правильный многоугольник. Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной. У прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками. Прямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками. Боковой поверхностью призмы (точнее, площадью боковой поверхности) называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований. Теорема: Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т.е. на длину бокового ребра.

4. Прямая призма. Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной. У прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками. Прямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками. Боковой поверхностью призмы (точнее, площадью боковой поверхности) называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.

Теорема: Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т.е. на длину бокового ребра.

5. Параллелепипед. Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани — параллелограммы. Параллелепипед называется прямым если его рёбра параллельны основанию, в обратном случае параллелепипед называется наклонным. Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. Теорема: У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

6. Прямоугольный параллелепипед. Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом. длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). У прямоугольного параллелепипеда три измерения. Теорема: В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

7. Пирамида. Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника — основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,— вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами. Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань — треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной сторона основания пирамиды. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром. Пирамиды с выпуклым многоугольником в основании называются выпуклыми многогранниками.

8. Правильная пирамида. Пирамид называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту. Очевидно, у правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. Терема: Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

9. Цилиндр. Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов,— образующими цилиндра. Так как параллельный перенос есть движение, то основания цилиндра равны. Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях. Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у цилиндра образующие параллельны и равны. Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих. Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.

10. Конус. Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,— вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности. Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

11. Шар. Сечение шара плоскостью. Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точки называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара.

Граница шара называется шаровой поверхностью, или сферой. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара. Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси. Теорема: Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Дано: Шар, O – центр шара, a – секущая плоскость. Доказательство: Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость а и обозначим через О' основание этого перпендикуляра. Пусть Х—произвольная точка шара, принадлежащая плоскости а. По теореме Пифагора OХ²=ОО'²+О'Х².Так как ОХ не больше радиуса R шара, то О'<√R²-ОО'², т. е. любая точка сечения шара плоскостью а находится от точки О’ на расстоянии, не большем √R²-ОО'², , следовательно, она принадлежит кругу с центром О’ и радиусом. Любая точка Х этого круга принадлежит шару. Это значит, что сечение шара плоскостью а есть круг с центром в точке О’. Теорема доказана. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы — большой окружностью.

12. Симметрия шара. Теорема: Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии. Дано: а – диаметральная плоскость, X – произвольная точка Х’ – точка симметричная X относительно плоскости а. Доказательство: Плоскость а перпендикулярна отрезку ХХ’ и пересекается с ним в его середине (в точке А). Из равенства прямоугольных треугольников ОАХ и ОАХ’ следует, что ОХ’=ОХ. Так как ОХ<R, то и ОХ'<R, т. е. точка, симметричная точке Х, принадлежит шару. Пусть теперь Х” — точка, симметричная точке Х относительно центра шара. Тогда ОХ''=ОХ<R т. е. точка Х” принадлежит шару. Теорема доказана.

13. Пересечение двух сфер. Теорема: Линия пересечения двух сфер есть окружность. Дано: О1иО2 - центры сфер, А – точка пересечения сфер. а – плоскость, перпендикулярная прямойО1 О2, причём d €А. Доказательство: По теореме о том что Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Плоскость а пересекает обе сферы по окружности К с центром В, проходящей через точку А. Таким образом, окружность К принадлежит пересечению сфер. Покажем, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности К. Допустим, точка Х пересечения сфер не лежит на окружности К. Проведем плоскость через точку Х и прямую О1 О2. Она пересечет сферы по окружностям с центрамиО1иО2. Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности К, в точке Х. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения. Мы пришли к противоречию. Пересечение сфер есть окружность (К). Теорема доказана.

14. Касательная плоскости к шару. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. На рис плоскость d—касательная к сфере с центром О,А — точка касания. Касательная плоскость к сфере обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности. Теореме: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Доказательство: Рассмотрим плоскость а, касающуюся сферы с центром О в точке А. Докажем, что радиус QA перпендикулярен к плоскости о. Радиус ОА является наклонной к плоскости а, и, следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости а меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Но это противоречит тому, что плоскость а — касательная, т, е. сфера и плоскость а. имеют только одну общую точку. Полученное противоречие доказы­вает, что радиус ОА перпендикулярен к плоскости а. Теорема доказана. Докажем обратную теорему. Теорема: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

15.Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами А, B, С вычисляется по формуле V =аЬс.

16. Объем наклонного параллелепипеда. Найдем объем наклонного параллелепипеда ABCDA₁В₁С₁D₁.Проведем через ребро ВС плоскость, перпендикулярную основанию ABCD и дополним наклонный параллелепипед треугольной призмой ВВ₁В₂СС₁С₂ Отсечем теперь от полученного тела треугольную призму плоскостью, проходящей через ребро AD и перпендикулярной основанию АВСD Тогда получим снова параллелепипед. Этот параллелепипед имеет объем, равный объему исходного параллелепипеда. Применяя еще раз такое преобразование к наклонным граням, получим параллелепипед, у которого все боковые грани перпендикулярны основанию, т. е. прямой параллелепипед. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений. Произведение двух измерений есть площадь основания параллелепипеда, а третье измерение — его высота. Таким образом, у прямоугольного параллелепипеда объем равен произведению площади основания на высоту.

17.Объем призмы. Рассмотрим произвольную призму. Разобьем ее основание на треугольники. Пусть A — один из этих треугольников. Проведем через произвольную точку Х треугольника, A прямую, параллельную боковым ребрам. Пусть a_x — отрезок этой прямой, принадлежащий призме. Когда точка Х описывает треугольник A, отрезки a_x, заполняют треугольную призму. Построив такую призму для каждого треугольника, A, мы получим разбиение данной призмы на треугольные. Все эти призмы имеют одну и ту же высоту, равную высоте исходной призмы. Объем данной призмы равен сумме объемов треугольных призм, ее составляющих. По доказанному объему треугольной призмы. Отсюда следует, что объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

18.Объем пирамиды. Дано: SАВС — треугольная пирамида. Доказательство: Дополним пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой. Эта призма составлена из трех пирамид: данной пирамиды SАВС и еще двух треугольных пирамид SCC1B1 и SCBB1. У второй и третьей пирамид равные основания — ∆СС1В1 и ∆В1ВС и общая высота, проведенная из вершины S. Поэтому у них равные объемы. У первой и третьей пирамид тоже равные основания — ∆SAB и ∆BB1S совпадающие высоты, проведенные из вершины С. Поэтому у них тоже равные объемы. Значит, все три пирамидьт имеют один и тот же объем. Так как сумма этих объемов равна объему призмы, то объемы пирамид равны SH\3. Поэтому: Объем треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Теперь возьмем любую пирамиду. Разобъем ее на треугольники ∆1, ∆2,…,∆n. Пирамиды основания которых составляют эти треугольники, а их вершины это вершина главной пирамиды. Объем общей пирамиды равен сумме объемов составляющих ее пирамид, т.к. все они имеют одинаковуювысоту.Отсюда:V=1\3H(S1+S2+…Sn)=1\3SH. Отсюда: обьем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

19.Объем цилиндра. Данное тело имеет объем V, если существуют содержащие его простые тела и содержащиеся в нем простые тела с объемами, сколь угодно мало отличающимися от V. Пусть Р — многоугольник, содержащий круг, а Р’ — многоугольник, содержащийся в круге. Построим две прямые призмы с основаниями Р и Р’ и высотой Н, равной высоте цилиндра. Первая призма содержит цилиндр, а вторая призма содержится в цилиндре. Так как при неограниченном увеличении площади оснований призмы неограниченно прибли жаются к площади основания цилиндра S, то их объемы неограниченно приближаются к SН. Согласно определению объема цилиндра. V=SH= ПR²H. Итак, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

20.Объем конуса. Построим два многоугольника в плоскости основания конуса: многоугольник Р, содержащий основание конуса, и многоугольник Р', содержащийся в основании конуса. Построим две пирамиды с основаниями P и Р' и вершиной в вершине конуса. Первая пирамида содержит конус, а вторая пирамида содержится в конусе. Как мы знаем, существуют такие многоугольники Р и Р', площади которых при неограниченном увеличении числа их сторон и неограниченно приближаются к площади круга в основании конуса. Для таких многоугольников объемы построенных пирамид неограниченно приближаются к 1\3SH, где S — площадь основания конуса, а H — его высота. Согласно определению отсюда следует, что объем конуса. V=1\3SH=1\3ПR²H. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

21.Объем шара. Введем декартовы координаты, приняв центр шара за начало координат. Плоскость XY пересекает поверхность шара радиуса R по окружности, которая, задается уравнением х²+y²=R². Полуокружность, расположенная над осью х, задается уравнением y=f(x)=+√R²+x², -R<x<R. Поэтому объем шара опреде ляется по формуле. Итак, объем шара равен 3\4ПR³.

22. Объем частей шара. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Формулу для объема шарового сегмента получаем аналогично формуле объема шара. где R — радиус шара, а Н — высота шарового сегмента. Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется. Объем шарового сектора получается сложением или вычитанием объемов соответствующих сегмента и конуса. Для объема шарового сектора получается следующая формула: V=2\3ПR²H. где R — радиус шара, а Н — высота соответствующего шарового сегмента

23.Площадь поверхности цилиндра. Впишем в цилиндр правильную n-угольную призму. Площадь боковой поверхности этой призмы Sn=PnH, где Pn— периметр основания призмы, а Н - ее высота. Как мы знаем, при неограниченном увеличении n периметр Р неограниченно приближается к длине С окружности основания цилиндра. Следовательно, площадь боковой поверхности призмы неограниченно приближается к СН. Поэтому величина СН принимается за площадь боковой по верхности цилиндра. Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра вычисляетса по формуле S=CH=2πRH, где R — радиус цилиндра, а Н — его высота.

24.Площадь поверхности конуса. Впишем в конус правильную n-угольную пирамиду. Площадь ее боковой поверхности Sn=1\2PnIn, где Pn - периметр основания пирамиды, а In - апофема. При неограниченном увеличении n периметр основания Pn неограниченно приближается к длине С окружности основания конуса, а апофема In — к длине I образующей. Соответственно боковая поверхность пирамиды неограниченно приближается к CI\2 связи с этим величина при нимается за площадь боковой по верхности конуса. Итак, площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: S=1\2CI=ПRI, где R – радиус основания конуса, а I - длина образующей.

25.Площадь поверхности сферы. Опишем около сферы выпуклый многогранник с малыми гранями. Пусть S' — площадь поверхности многогранника, т. е. сумма площадей его граней. Найдем приближенное значение площади поверхности многогранника, предполагая, что линейные размеры граней, т. е. расстояние между любыми двумя точками любой грани, меньше Е. Объем многогранника равен сумме объемов пирамид, имеющих своими основаниями грани многогранника, а вершиной — центр сферы. Так как все пирамиды имеют одну и ту же высоту, равную радиусу R сферы, то объем многогранника V=1\3 S'R. Объем многогранника больше объема шара, ограниченного сферой, но меньше объема шара с тем же центром и с радиусом R+Е. Таким образом, 4\3ПR³<1\3 S'R<4\3П(R+t=e)³, отсюда 4ПR²<S'<4П(R+e)² (1+e\R).