Алгебра

1.Производная функции. Производной функции f в точке хº называется число, к которому стремится разностное отношение при ∆х, стремящимся к нулю. Функцию, имеющую производную в точке хº, называют дифференцируемой в этой точке. Пусть D₁ — множество точек, в которых функция дифференцируема. Сопоставляя каждомух € D1 число f '(x)₁получим новую функцию с областью определения D_1. Эта функция называется производной функции y=f (х) и обозначается f ' или у'. Нахождение производной данной функции f называется дифференцированием. В этом пункте мы получили следующие формулы дифференцирования: (х²)'=2х, (х³)'=Зх², (kx+b)'=k. Полагая в формуле (kx+b)'=k, что k=0, b=C, где С—произвольная постоянная, получаем, что С'=0, т. е. производная постоянной равна нулю.

2.Производная суммы. Производная суммы равна сумме производных. (Пример)

3.Производная произведения Производные перемножаются по формуле. .(Пример.)

4.Производная частного. Производные делятся по формуле. .(Пример.)

5.Производная сложной функции. Для того, что бы взять производную сложной функции необходимо выразить производную внешней функции, а затем производную внутренней. f(g(x))=f(u) где, u=g(x)

6.Производная логарифмической функции. Графики функций y=log(x)a и y=x(a)симметричны относительно прямой y=x . Т.к. показательная функция дифференцируема, а ее производная не обращается в нуль, то логарифмическая функция дифференцируема на всей области определения. Докажем, что производная логарифмической функции для любого x из области определения находится по формуле ln'x=1\x. По основному логарифмическому тождеству при всех положительных x, то . Зная, что х'=1 находим 1=xln'x, откуда ln'x=1\x. Эта формула показывает, что для функции 1\x на промежутке (0;∞) любая первообразная может быть записана в виде ln x+C. На любом промежутке, не содержащим точку 0 первообразной для функции 1\x является функция ln IxI.

7.Производная степенной функции. f(x)=x(a) - степенная функция. Если a>0, то степенная функция определена и при x=0, т.к. 0(a)=0. Исследование степенной функции достаточно провести только на промежутке (0;∞). Докажем, что для любого x из области определения производная степенной функции равна . Т.к. то, . Отсюда,

8. Производная показательной функции. Функция f(e(x)) – показательная. Теорема 1: Функция e(x) дифференцируема в каждой точке области определения, и (e)'=e(x). Теорема 2: Показательная функция d(x) дифференцируема в каждой точке области определения и (a(x))'=a(x)lna. Следствие: Показательная функция непрерывна в каждой точке своей области определения, т.е. при . Теорема 3:Первообразная для функции a(x) на R является функция a(x)\lna.

9.Производная функции y=sin x. Функция синус имеет производную в любой точке и .(Пример.)

10.Производная функции y=cos x. Функция косинус имеет производную в каждой точке своей области определения и .(Пример.)

11.Производная функции y=tg x. Функция тангенс имеет производную в каждой точке своей области определения и .(Пример.)

12.Производная функции y=ctg x. Функция котангенс имеет производную в каждой точке своей области определения и

. (Пример.)

13.Производная функции y=arcsin x. Функция арксинус имеет производную в каждой точке своей области определения и

14.Производная функции y=arccos x.

Функция арккосинус имеет производную в каждой точке своей области определения и

. (Пример.)

15.Производная функции y=arctg x. Функция арктангенс имеет производную в каждой точке своей области определения и

. (Пример.)

16.Производная функции y=arcctg x. Функция арккотангенс имеет производную в каждой точке своей области определения и

. (Пример.)

17.Вторая производная. Производная функции f в точке xº называется число, к которому стремиться разностное отношение . Вторая производная – это производная, полученная из первой производной.

18.Возрастание и убывание функции. Если f'(x)>0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на интервале I.

Если f'(x)<0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на интервале I.

19.Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Кривая y=f(x) называется выпуклой в точке xº (вогнутой в точке xº), если она расположена под касательной (над касательной). y''>0, то вогн. y''<0, то выпукл. Теорема: (признак выпуклости, вогнутости). Если вторая производная положительна (отрицательна) на интервале a.b, то она вогнута (выпукла), в каждой точке этого интервала. Точка xº называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если она отделяет интервалы выпуклости и вогнутости. Теорема: (Признак перегиба). Если вторая производная непрерывна, на интервале a.b, и меняет знак при переходе через точкуxº, на интервале a.b, то, xº- точка перегиба.

20.Экстремумы функции. Точка x1 называется точкой максимума, если для всех X из интервала a b, содержащего точку x1 выполняется неравенство f(x1)>f(x). Точка x2 называется точкой минимума функции y=f(x), если для всех X из интервала c.d, содержащего точку x2 выполняется неравенство f(x2) > f(X).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема: Если точка xº является точкой экстремума, то производная в этой точке равна нулю, т.е. f'(xº)=0. Теорема 2: Если производная функции y=f(x) при переходе, через точку xº меняет свой знак, то xº - точка экстремума.

21.Дифференциалфункции. . – главная часть приращение функции.. Дифференциалом функции (d y) называется главная часть приращения функции (y') ∆x. dy=y'dx. dy=y'dx. Дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал функции. y=x². dy=(x²)'*dx=2xdx.

22.Схема исследования функции. Область определения функции Д (y). 1.Производная функции у'(x). 2.Критические точки функции у'=0. 3.Возростание, убывание, точки экстремумов. 4.Экстремальные точки (max min). 5.Вторая производная y''=(f'(x))'. 6.Критические точки второго рода y''=0. 7.Выпуклость, вогнутость. 8.Точки перегиба. 9.Дополнительные точки x=0, y=f(0), y=0, f(x)=0. 10.Строим график функции.

23.Таблица производных. 1.(lnx)'=1\x. 2.(log(a)x)'=1\x ln a. 3. (x(n))'=nx(n-1). 4. (√x)'=1\2√x. 5. (a(x))'=a(x)*ln a. 6. (e(x))'=e(x). 7. (sinx)'=cosx. 8. (cosx)'=-sinx. 9. (tgx)'=1\cos²x. 10. (ctgx)'=-1\sin²x.

24. Первообразная. Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка справедливо равенство F'(x)=f(x). Теорема: Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(x)+C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, а C – произвольная постоянная.

25. Неопределенный интеграл. Множество всех первоообразных F(x)+C, функции y=f(x') на некотором интервале называется неопределенным интервалом функции y=f(x). интег f(x)dx=F(x)+C, где: f(x)dx – подинтегральное выражение, f(x) – подинтегральная функция, dx – дифференциал аргумента.

26. Свойства неопределенного интеграла. 1.) (ин f(x)dx)'=f(x).

1). Постоянный множитель можно вынести за знак еопределенного интеграла. Ин kf(x)dx=k ин f(x)dx. 2). Неопределенный интеграл суммы равен сумме неопределенных интегралов. ин (f(x)+g(x))dx=ин f(x)+fg(x)dx. 3). d ин f(x)dx=f(x)dx. 4). ин dF(x)=F(x)+C ин dx=x+C.

27. Основные формулы интегрирования. 1). ин x(n)dx=x(n-1)\n+1+C, при x не = -1. 2). ин dx\x=ln IxI+C. 3). ин e(x)dx=e(x)+C. 4). ин a(x)dx=a(x)\ln a+C. 5). ин sin xdx=-cos+C. 6). ин cosxdx=sinx+C. 7). ин dx\cos²x=tgx+C. 8). ин dx\sin²x=-ctgx+C. 9). ин dx\√1-x²=arcsinx+C. 10). ин dx\1+x²=arctgx+C.

28. Интегрирование способом подстановки. Надо заменить часть подинтегральной функции новой переменной, таким образом, чтобы оставшаяся часть подинтегрального выражения была ее дифференциалом, с точностью до коэфицента. Пример:

29. Способ интегрирования по частям. В качестве U выбираем часть подинтегральной функции так, что бы du было проще, чем U, а по du легко находилось V. Пример:

30. Площадь криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [a; b] оси ox задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; b] и прямыми x=a и x=b; называют криволинейной трапецией. Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяется следующая теорема. Теорема: Если f — непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, а F — ее первообразная на этом отрезке, равна приращению первообразиой на отрезке [а; b] , т. е. S=F(b) - F(a)