2 Зависимость состава функций от числа переменных

Рассмотрим весь объем и состав функций в зависимости от количества входных переменных

2.1 Состав функций при отсутствии входных переменных

Представим, что на вход логической схемы не поступает ни один сигнал. В этом случае на выходе может быть либо 0, либо 1, т. е. для числа переменных n=0 на выходе может быть две ЛФ, у₀=0, у₁=1. Их называют const 0, const 1. Они постоянны, так как входной сигнал, тоже постоянный, отсутствует. Константа 0 и константа 1 обозначают абсолютно ложную и абсолютно истинную функции. На практике эти функции получаются при замыкании или сгорании внутри микросхемы какого-нибудь диодного перехода или цепи их соединения. В этом случае любые изменения переменных на входе не приводят к изменению сигнала на выходе.

В технике специально таких логических элементов нет, но их легко получить, например, из логического элемента И на две переменные (см. рисунок 2.1).

2 .2 Функции одной переменной

В таблице 2.1 приведены функции для одной переменной. Переменная Х имеет два значения 0 и 1, поэтому, общее число функций равно четырем, так как из двух разрядов можно получить четыре разные комбинации.

Таблица 2.1-Функции одной переменной

X	0 1	Обозначение	Название	Чтение
Y0	0 0	Const 0	Константа 0	Всегда 0
Y1	0 1	f(x) ≡ x	Повторение	Как x
Y2	1 0		Отрицание	Не x
Y3	1 1	Const 1	Константа 1	Всегда 1

Функции У₀, У₃ уже знакомые ЛФ const. Функция y₂=f(x)≡x, повторяет значение логической переменной, называется тождественная функция. Функция у₃= противоположная по своему значению логической переменной X - логическое отрицание или функция НЕ.

2.3 Функции двух переменных

В таблице 2.2 приведены функции двух переменных.

Две переменные имеют четыре разных комбинации входных кодов (наборов). Каждому набору соответствует один разряд функции на котором она равна 1 или 0. Номер функции удобно привязать к последовательному бинарному счету. Под каждым набором получаются значения Y_і.

Таблица 2.2-Булевы функции двух переменных

X1 X2	0 0 1 1 0 1 0 1	Обознач.	Название	Чтение
Y0	0 0 0 0	Const 0	Константа 0	Всегда 0
Y1	0 0 0 1	x1 x2	Конъюнкция	x1 и x2
Y2	0 0 1 0	x1 ← x2	Отрицан. импл.	x1, но не x2
Y3	0 0 1 1	x1	Повторение	Как x1
Y4	0 1 0 0	x2 ← x1	Отр. обр. импл.	Не x1, но x2
Y5	0 1 0 1	x2	Повторение	Как x2
Y6	0 1 1 0	x1 x2	Σ mod 2	x1 не как x2
Y7	0 1 1 1	x1 + x2	Дизъюнкция	x1 или x2
Y8	1 0 0 0	x1 ↓ x2	Стрелка Пирса	x1, или x2 не
Y9	1 0 0 1	x1 ~ x2	Эквиваленция	x1 как x2
Y10	1 0 1 0		Отриц. втор. арг.	Не x2
Y11	1 0 1 1	x2 → x1	Обрат.имплик.	Если x2, то x1
Y12	1 1 0 0		Отриц. перв. арг.	Не x1
Y13	1 1 0 1	x1 → x2	Импликация	Если x1, то x2
Y14	1 1 1 0	x2 / x1	Штрих Шеффера	x1 и x2 не
Y15	1 1 1 1	Const 1	Константа 1	Всегда 1

Анализируют функции и присваивают им названия по их поведению относительно всех четырех наборов переменных. Анализ показывает, что шесть из приведенных функций не зависят от x₁ или x₂ (или от обоих вместе). Это две константы (у₀,у₁₅), повторения (у₃,у₅), и отрицания (у₁₀,у₁₂). Из остальных 10 функций две (у₄,у₁₁) отличаются от соответствующих им (у₂,у₁₃) лишь порядком расположения аргументов и поэтому не являются самостоятельными.

Поэтому из 16 функций двух переменных только 8 являются оригинальными (у₁, у₂, у₆, у₇, у₈, у₉, у₁₃, у₁₄).

Рассмотрение булевых функций одной, двух и большего числа переменных показывает, что любая функция от меньшего числа переменных содержится среди функций большего числа переменных.

Определение. Функции, которые сводятся к зависимости от меньшего числа переменных, называются вырожденными.

Функции, существенно зависящие от всех переменных, называются невырожденными.

Две функции равносильны друг другу, если принимают на всех возможных наборах переменных одни и те же значения f₁(x₁,x₂,…,х_n)=f₂(x₁,x₂,…,х_n).