6 Полные системы функций

6.1 Функционально полные базисы

Одни логические функции, как было рассмотрено выше, при помощи суперпозиции можно выражать через другие. Этот очень важный метод широко применяется при синтезе цифровых конечных автоматов. Важно определить то минимальное число необходимых функций, с помощью которых мы могли бы выразить любую ЛФ, и, тем самым, определить технический базис проектирования, достаточный для построения любого автомата. Сформулируем некоторые определения.

Определение. Система функций алгебры логики {f₁,f₂,...f_m} называется полной в классе R, если любая функция φ, принадлежащая R, может быть представлена суперпозицией функций f₁,f₂,...,f_m.

Определение. Система функций {f₁,f₂,...,f_m} являющаяся полной в классе R называется базисом.

В силу теоремы, рассмотренной ранее, общее число функций, зависящих от n аргументов равно 2 . Рассмотрим этот класс функций, как класс R.

В самом деле, в него входят все 2 функции с помощью которых можно выразить любую другую функцию этого класса. Это тривиально полная система. Но, она слишком велика и разнообразна.

Поэтому, в технике применяют другие полные системы. Интерес представляет базис функций И, ИЛИ, НЕ (базис 1), свойства которого достаточно изучены.

Другими базисами служат системы: И, НЕ (базис 2), ИЛИ, НЕ (базис 3), система, базирующаяся на функции Шеффера НЕ-И (базис 4) и функции Пирса (Вебба) НЕ-ИЛИ (базис 5). Эти базисы получили наибольшее распространение в технике.

Существует много и других базисов. Например, из совершенной полиномиальной формы следует базис из функций конъюнкции, сложения по mod2 и отрицания. Отрицание можно заменить через соотношение = х 1, и получим базис функции сложения по mod2, конъюнкции и константы 1 (носит название полиномиального базиса).

6.2 Теорема Поста

Для определения базиса ФЛ, существует теорема Поста-Яблонского (приведена без доказательства).

Теорема Поста. Для того, чтобы система функций {f₁,f₂,...,f_m} была полной, необходимо и достаточно, чтобы она содержала функции:

-не сохраняющую константу ноль;

-не сохраняющую константу единица;

-не была самодвойственной;

-не была линейной;

-не была монотонной.

При определении полноты базисных систем, удобно пользоваться таблицей, в которой принадлежность элементарных функций к тому или иному классу отмечена плюсом (+), а минус – означает отсутствие данного свойства (см. таблицу 6.1).

Таблица 6.1-Таблица определения логического базиса

№	Функция	К0 конс.0	К1 конс.1	L лин.	М мон.	S самод.
1 2 3 4 5 6 7 8	Отрицание Дизъюнкция Конъюнкция Импликация Слож. mod2 Шеффера Пирса Эквивалентн.	− + + − + − − −	− + + + − − − +	+ − − − + − − +	− + + − − − − −	+ − − − − − − −

Эта таблица дает возможность определять базисы системы ЛФ из элементарных функций следующим образом. Берут любую функцию и проверяют столбики. Необходимо, чтобы во всех столбиках стоял знак минуса, т. е., отсутствовали указанные свойства. Если в каком-нибудь столбике стоит плюс, то к взятой функции подбирают, для компенсации, функцию с минусом в этом столбике. Совокупность этих функций и составит базис.

Базисы бывают избыточными: И, ИЛИ, НЕ и минимальными, например, Шеффера, Пирса.

Базис называется минимальным, если удаление хотя бы одной функции превращает базисную систему ФЛ в неполную. Например, базис 4, 5.

Базис- И, ИЛИ, НЕ является избыточным, т.к., используя закон де-Моргана, можно удалить: либо И, заменив ее на НЕ-ИЛИ-НЕ, либо ИЛИ, заменив ее на НЕ-И-НЕ.

Проблема полноты базиса эквивалентна проблеме выбора стандартов на логические микросхемы, из которых будет строиться цифровой автомат.

Наряду с этим важно не только реализовать сам автомат, но и общее число применяемых при этом базисных элементов. Возникает вопрос о минимальных формах построения функций. Очевидно, что нормальные формы экономичнее совершенных нормальных форм. Но с другой стороны, общее представление об автомате мы можем оценить только по совершенным нормальным формам, а после этого, выполняется минимизация функции.