Функція Гріна

Для опису передатних властивостей елементів з розподіленими параметрами можна використовувати функцію Гріна (вагову функцію) v(x, ξ, t – τ), яка відтворює реакцію розподіленого елемента в точці x в момент часу t при нульових початкових та однорідних крайових умовах, на імпульсний сигнал, прикладений в кожній точці ξ та в кожен момент часу τ. Тоді лінійний стаціонарний розподілений блок описується інтегральним оператором:

,

(24)

де D₁ — область в r-вимірному евклідовому просторі; (ξ, τ) — вхідна дія.

Зв’язок між передатною і ваговою функцією v(x, ξ, t) задається співвідношенням

.

(25)

Інтегральні моделі

Значно менш систематизованою і дослідженою в технічних застосуваннях є область використання інтегральних рівнянь, які в загальному нелінійному випадку можуть представлятись у вигляді

,

(26)

де інтеграл береться по області Q, а шукана функція u може залежати як від однієї, так і від багатьох змінних x = {x₁, x₂, …, x_n}Q(x); функції K (ядро) і F — наперед відомі.

Математичні моделі виду (26) мають ряд переваг, зокрема, вони містять в собі повну постановку задачі, що відповідає моделям (22) і (23) разом з їх граничними умовами, завдяки незмінності своєї структури допускають більш універсальний підхід при числовій реалізації, ніж у випадку диференціальних моделей.

Інтегро-диференціальні моделі

Властивості диференціальних та інтегральних моделей сполучаються в інтегро-диференціальних рівняннях, які, за аналогією із структурою (26), можуть бути подані в наступному вигляді:

,

(27)

де порядки старших похідних від шуканої функції, що містяться під інтегралом і поза інтегралом, можуть не збігатися. Природно, що рівняння (27) для відшукання розв’язку вимагає, щоб були задані граничні умови. Залучення інтегро-диференціальних рівнянь як моделей, що еквівалентні іншим можливим видам моделей, часто виявляється корисним через можливість одержання нових методів наближеного розв’язування задачі.