7

3. Способи математичного опису динамічних процесів Математичний опис лінійних динамічних об’єктів

Динамічні об’єкти називаються лінійними, якщо рівняння динаміки і, отже, статики цих об’єктів лінійні. Характерною рисою лінійних динамічних об’єктів є застосування до них принципу суперпозиції, який можна сформулювати у такий спосіб.

Нехай x_j (j = 1, 2, …, m) — деякі (взагалі говорячи, різні) вхідні сигнали лінійних динамічних об’єктів, а у_j(t) — реакції на кожен з цих сигналів. Тоді для лінійних динамічних об’єктів сумарна реакція на сумарний вхідний сигнал буде визначатися так:

. (1)

Лінійні динамічні об’єкти дуже різноманітні. Їхні параметри можуть мінятися з часом чи залишатися сталими, бути як зосередженими, так і розподіленими. Часто такі динамічні об’єкти містять лінійні імпульсні елементи.

Найпростішим прикладом лінійного динамічного об’єкта є об’єкт з сталими зосередженими параметрами. В загальному випадку вони можуть бути описані лінійним диференціальним рівнянням з сталими коефіцієнтами виду

a₀y⁽ⁿ⁾(t)+a₁y^(n-1)(t)+…+a_ny(t)=b₀x^(m)(t)+b₁x^(m-1)(t)+…+b_mx(t), (2)

які встановлюють залежність у(t) реакції (вихідний сигнал) від x(t) — впливу на систему (вхідний сигнал). Порядок диференціального рівняння п, величини a_i (i = 0, 1, 2, …, n), b_j (j = 0, 1, …, m) цілком визначаються параметрами самої системи і, природньо, є дійсними числами.

У реальних динамічних об’єктах, зазвичай, п > т.

Загальний розв’язок рівняння (2) складається з двох частин:

загального розв’язку однорідного диференціального рівняння

a₀y⁽ⁿ⁾(t)+a₁y^(n–1)(t)+…+a_ny(t)=0

і часткового розв’язку рівняння (2).

Передатна функція лінійних динамічних об’єктів і її властивості

Зв’язок між зображеннями по Лапласу реакції системи y(t) і вхідного впливу на систему x(t) виражається співвідношенням:

, (3)

Функція яка являє собою відношення перетворення Лапласа вихідного сигналу лінійних динамічних об’єктів до перетворення вхідного сигналу при нульових початкових умовах, називається передатною функцією лінійних динамічних об’єктів.

Згідно із (3)

, (4)

де, як і раніше, р=σ+iω і σ>σ₀, де σ₀ — абсциса абсолютної збіжності.

Зміст передатної функції, як слідує з визначення, полягає в тому, що вона являє собою деякий оператор, що перетворює зовнішній вплив на вході в реакцію системи на виході. Якщо відоме зворотне перетворення Лапласа, тобто ω(t)W(p), то можна записати

, (5)

Інтеграл, який розташований в правій частині (5) і визначає вихідний сигнал при нульових початкових значеннях у вигляді згортки оригіналу передатної функції і зовнішнього впливу, називається інтегралом Дюамеля.

У се вищесказане відноситься до лінійних динамічних об’єктів з одним входом і одним виходом (рис. 1).

Оскільки для реальних об’єктів п > т, то а_i (i = 0, 1, 2,…, п) і b_j (j = 0, 1, 2,…, n) — дійсні величини. Звідси слідує, що нулі і полюси (точки, у яких W(р) прямує до нескінченності) — комплексно спряжені числа.

Корені поліномів

, (6)

, (7)

є відповідно нулями і полюсами .

Перехідна функція

Сигнал h(t), який одержується на виході системи при подачі на його вхід одиничного стрибка U(t), називається перехідною функцією системи.

Згідно перетворення Лапласа , і, отже, за означенням маємо

. (8)

Переходячи від зображення до оригіналу, одержимо

. (9)

Знайдемо зв'язок між передатною й перехідною функціями. З формули (5) при x(t)=U(t) випливає, що

, (10)

звідки

, (11)

тобто оригінал передатної функції дорівнює похідній від перехідної функції системи. Не слід забувати, що, як і раніше, система має нульові початкові умови.

Виразимо у(t) — реакцію системи на довільний вплив х(t) через перехідну функцію h(t). З (11) і (5) маємо

.

Провівши інтегрування в (11а) за частинами, одержимо

. (12)