Марковские процессы гибели и размножения с непрерывным временем

Марковским процессом гибели и размножения с непрерывным временем назовем такой с.п., который может принимать только целые неотрицательные значения. Изменения этого процесса могут происходить в любой момент времени t, при этом он может либо увеличиваться на единицу, либо остаться неизменным.

Потоками размножения λ_i(t) будем называть пуассоновские потоки, ведущие к увеличению функции X(t). Соответственно μ_i(t) – потоки гибели, ведущие к уменьшению функции X(t).

Составим по графу уравнения Колмогорова:

.

Если поток с конечным числом состояний:

Система уравнений Колмогорова для процесса гибели и размножения с ограниченным числом состояний имеет вид:

Процессом чистого размножения называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивности всех потоков гибели равны нулю.

Процессом чистой гибели называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивности всех потоков размножения равны нулю.

Стационарный режим процесса гибели и размножения

При постоянных интенсивностях потоков гибели и размножения и конечном числе состояний будет существовать стационарный режим. Это вытекает из того, что множество всех состояний процесса гибели и размножения является эргодическим: все его состояния и все подмножества состояний являются транзитивными. Следовательно система с конечным числом состояний является простейшей эргодической системой.

Предельные вероятности состояний для простейшего эргодического процесса гибели и размножения, находящегося в стационарном режиме, могут быть получены из системы уравнений:

λ и μ – const

Вероятность P_i можно выразить через предельную вероятность P₀. Вероятность P₀ можно найти из нормировочного условия

, откуда .

Для существования стационарного режима процесса гибели и размножения при n→∞ достаточно сходимости ряда , при этом ряд должен расходиться. Очевидно, что условие будет выполняться, если начиная с некоторого i будет справедливо неравенство .

Если интенсивность потока размножения меньше интенсивности потока гибели, то ряд сходится.

Пример. Рассматривается эксплуатация однотипных автомашин в автохозяйстве. Интенсивность поступления таких автомашин в таком автохозяйстве равна λ(t). Каждая поступившая в автохозяйство машина списывается через случайное время Т, распределенное по показательному закону с параметром μ. Рассматривается с.п. X(t) – число автомашин данного типа, находящихся в эксплуатации в момент времени t. Найти одномерный закон распределения случайного процесса X(t).

1 случай. Бесконечное число машин.

S₀ – в парке нет ни одной машины

S₁ – одна машина

Уравнения Колмогорова:

в момент времени t = 0.

2 случай. Конечно число машин – n.

λ(t)

Уравнения Колмогорова:

Найти предельные вероятности состояний для стационарного режима λ(t), μ(t) – const.

1. число машин неограниченно

.

Обозначим

Таким образом мы получили, что число автомашин распределено по закону Пуассона с параметром α. Из того, что число эксплуатируемых машин распределено по закону Пуассона, следует, что математическое ожидание числа эксплуатируемых автомашин равно его дисперсии: .

2. Не более n автомашин

где , распределение Пуассона,

Следовательно, (*)

Назовем распределение предельных вероятностей (*) усеченным законом Пуассона.

Математическое ожидание