Потоки событий

Потоком событий называется последовательность однородных событий, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени.

Случайное событие в опыте со случайным исходом может произойти или нет. Событие потока происходит обязательно.

Поток событий представляет собой в общем случае последовательность случайных точек Θ₁, Θ₂, …, Θ_n, … на оси времени 0t с разделяющимися их случайными интервалами T₁, T₂, …, T_n, … так что T₁ = Θ₂ – Θ₁, T₂ = Θ₃ – Θ₂, … , T_n = Θ_n+1 – Θ_n.

Свяжем с потоком с.п. X(t):

X(t) – число событий, появившихся за время t.

Поток событий, в котором интервалы между событиями строго одинаковы и равны определенной неслучайной величине τ. Такой поток называется регулярным.

1. Ординарность

Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке:

Рассмотрим элементарный участок Δt, примыкающий к точке t.

Ординарность потока означает, что вероятность попадания на участок Δt двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него ровно одного события.

P₀(t, Δt) – вероятность непопадания на него ни одного события;

P_>1(t, Δt) – вероятность попадания на него двух или более событий;

Р₁(t, Δt) – вероятность попадания на него одного события.

Введем новое очень важное понятие – интенсивность потока.

X(t, Δt) – число событий, попадающих на участок (t, t +Δt).

Ряд распределения этой случайной величины имеет вид

X(t, Δt)	0	1	a>1
	P0(t, Δt)	P1(t, Δt)	P>1(t, Δt)

где a – ограниченная величина.

Если этот предел существует, то он называется интенсивностью (плотностью) ординарного потока событий в момент времени t.

λ(t) – это среднее число событий, приходящихся на единицу длины (времени).

Среднее число событий, приходящихся на промежуток τ:

если λ – const, то .

2. Отсутствие последствия

Поток события называется потоком без последствия, если для любых неперекрывающихся участков времени τ₁, τ₂,…, τ_{n ,} числа событий, попадающих на эти участки, представляют собой независимые случайные величины, т.е. вероятность попадания любого числа событий на один участок не зависит от того, сколько их попало на другие.

Число событий, попадающих на промежуток длиной τ при интенсивности λ(t) распределено по закону Пуассона:

, вероятность того, что произойдет k событий.

3. Стационарность

Поток событий называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не зависят от времени.

В частности, для стационарного потока событий вероятность попадания того или иного числа событий на участок длины τ зависит только от длины этого участка и не зависит от того, где именно на оси времени этот участок расположен.

Это значит, что числа событий X₁(t₁, τ) и X₂(t₂, τ), попадающих на два участка одинаковой длины τ будут иметь одинаковое распределение. Отсюда следует, что для стационарного потока событий его интенсивность λ(t) постоянна:

λ(t) = λ = const.

Поток, обладающий всеми тремя свойствами, т.е. ординарный, стационарный и без последствия, называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком.

Поток с ограниченным последствием

Это поток, у которого случайные интервалы между событиями T₁, …,T_n являются независимыми случайными величинами.

Стационарный поток с ограниченным последствием называется потоком Пальма. Простейший поток является потоком Пальма. В простейшем потоке время между событиями распределено по показательному закону.

Предельная теорема для потоков:

Суммой двух потоков П₁ и П₂ назовем поток, в котором моменты появления событий состоят из моментов появлений событий в П₁ и П₂.

Предельная теорема для суммарного потока определяет условия, при которых сумма независимых, ординарных, стационарных потоков событий сходится к пуассоновскому стационарному потоку.

П⁽²⁾ = П₁ + П₂; λ⁽²⁾ = λ ₁ + λ ₂