Пример 4
К грузу 1 массы m1=20 кг и цилиндрическому катку 3 радиуса 3=0,2 м массы m3=10 кг прикреплена нить, переброшенная через блок 2 массы m2=2,5 кг (рис. 5). Даны значения углов: , . Определить ускорение груза 1, его скорость в зависимости от пройденного им по наклонной плоскости пути s и условие того, чтобы груз опускался, если в начальный момент МС находилась в покое. Блок 2 и каток 3 считать однородными круглыми цилиндрами, массой нити пренебречь. Коэффициент трения скольжения груза fc=0,1, а коэффициент трения качения катка fк=0,01 Н/м.
Решение задачи по алгоритму визуализировано.
Рассматриваемый объект принимается за МС, состоящую из одной МТ – груз 1 и двух АТТ: блок 2 и каток 3.
Рис. 5
Связи стационарные, удерживающие и неидеальные, так как рабты силы трения скольжения – Fтр и момента трения качения – Mтр на виртуальных перемещениях не равны нулю.
Силовая схема,
состоящая из сил и моментов:
,
,
,
,
представлена на рис. 5. Реакции связей
не войдут в общее уравнение динамики,
так как их работы на виртуальных
перемещениях равны нулю. Сила трения
скольжения и момент трения качения
условно принимаются за активные силы:
,
(Ч.2 Статика).
Д54 ПДС
5
7
,
,
С учетом формул для моментов инерции:
и
,
получим следующие выражения моментов сил инерции:
,
.
4 Векторная форма: да.
5б Равновесие: нет, движение.
6
б
Д49 КЭС
3
–6
7б
Виртуальные перемещения
изображены на рис. 5.
8б
Соотношения между виртуальными
перемещениями выражаются через
(=1).
Эти соотношения устанавливаются
аналогично тому, как это было сделано
для перемещений в примере 1 главы 4, п.
4.9. Ч.3 Динамика (рис. 38).
Груз 1 принимается за МТ и совершает прямолинейное движение. Блок 2 совершает вращательное движение относительно неподвижной точки, каток 3 совершает плоско-параллельное движение:
,
,
.
Все ускорения
выражаются через ускорение
груза. Эти соотношения устанавливаются
аналогично тому, как это было сделано
для перемещений и скоростей в примере
1 главы 4, Ч.3 Динамика (рис. 38) или
используются по аналогии соотношения,
полученные ранее для виртуальных
перемещений:
,
,
.
9 Подставив в выражения для силы трения скольжения, момента трения качения, сил и моментов сил инерции (уровень 3), а также соотношения между виртуальными перемещениями и ускорениями (уровень 8б), получим:
Так как r1 – независимая вариация, то:
10 Ответ:
.
Скорость груза 1 с учетом нулевых начальных условий можно найти путем искусственного преобразования и интегрирования методом разделения переменных:
,
так как
,
то, разделив переменные, получим:
,
,
,
.
Условия того, чтобы груз 1 опускался W1>0 или V1>0, т. е.
.
Таким образом, условие того, чтобы груз 1 опускался, выполняется.