1.5.6. Колебательное движение мт в поле силы тяжести, в среде с сопротивлением под действием возмущающей силы

МТ массы m (рис. 10), подвешенная к пружине с коэффициентом жесткости с, находится в среде с сопротивлением, пропорциональным первой степени скорости, и на нее действует вертикальная гармоническая возмущающая сила. Найти уравнение движения МТ, если известны ее начальное положение – координата х₀ и ее начальная скорость – V₀, направленная по вертикали.

ст

Рис. 10

Пусть F_у = –с – сила упругости пружины (восстанавли-вающая сила), где  – удлинение пружины;

– сила сопротивления среды, где – постоянный коэффициент сопротивления среды;

F = H sinpt – возмущающая сила, где Н – амплитуда (наибольшее значение), а р – угловая частота возмущающей силы.

Ось х направлена вертикально вниз, а начало координат (точка О) выбрано в положении статического равновесия, для которого .

Силовая схема изображена на рис. 10.

Составим уравнение движения:

.

Учтя, что , P=c_ст, дифференциальное уравнение колебательного движения МТ примет вид:

.

Приведя это уравнение к каноническому виду, получим:

.

Используем уже введенные обозначения

.

Тогда дифференциальное уравнение движения примет вид:

.

Это линейное, неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, решения которого в общем и различных частных случаях представлены в пунктах 1.5.1 – 1.5.5.

Примечания.

Если колебательное движение МТ происходит на наклонной плоскости, то ось х направляется вдоль этой плоскости и все силы, действующие на МТ, проектируются на эту ось.

Если плоскость горизонтальна, то задача упрощается, так как _ст и проекция силы тяжести Р на ось х будут равны нулю.

Если МТ подвешена к нескольким пружинам разной жесткости, соединенных последовательно или параллельно, то эти пружины заменяются одной им эквивалентной пружиной.

1.6. Общие теоремы динамики мт

1.6.1. Теорема об изменении количества движения мт

Основной закон динамики (1.1) можно представить в виде:

(1.29)

Здесь – элементарный импульс силы, действующей на МТ.

Соотношение (1.29) выражает теорему об изменении количества движения МТ в дифференциальной форме.

Теорема: Дифференциал количества движения МТ равен элементарному импульсу силы, действующей на МТ.

Проинтегрировав соотношение (1.29) с учетом начальных условий: при t = 0 , получим эту теорему в конечной интегральной форме:

. (1.30)

В (1.30) называется импульсом силы за конечный промежуток времени:

. (1.31)

Теорема: Изменение количества движения МТ за конечный промежуток времени равно импульсу силы, действующей на МТ за тот же промежуток времени.

Проектируя на оси декартовой системы координат равенство (1.30), получим эту теорему в скалярной форме:

,

, (1.32)

,

где S_x, S_y, S_z – проекции импульса силы на оси декартовой системы координат.

Теорема: Изменение проекции количества движения МТ на какую-либо ось за конечный промежуток времени равно проекции на эту же ось импульса силы, действующей на МТ за тот же промежуток времени – соотношение (1.32).

Следствия: если =0, то , т. е. МТ движется таким образом, что ее скорость остается постоянной;

если F_x=0, то V_x = V_0х, т. е. МТ движется таким образом, что проекция ее скорости на ось х остается постоянной.

Первое из полученных соотношений находится в полном соответствии с первым законом динамики – законом инерции и подтверждает, что при отсутствии силы МТ движется равномерно и прямолинейно.