1.5.2. Колебательное движение мт в среде без сопротивления при отсутствии возмущающей силы

В этом случае n=0, h=0 и общее решение (1.23) примет вид:

, (1.24)

где а и  – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.

МТ перемещается по закону синуса (или косинуса). Такое движение носит название простого гармонического колебания, график его представлен на рис. 6.

Рис. 6

Скорость этого гармонического колебания МТ будет:

. (1.25)

Так как , то постоянная а определяет наибольшее отклонение МТ от центра колебаний О и называется амплитудой колебаний МТ. Параметр определяет положение МТ и ее скорость в каждый момент времени и называется фазой колебаний, а постоянная α – начальной фазой.

На основании уравнения (1.24) можно сделать вывод, что движение МТ является периодическим. Периодом колебаний называется промежуток времени T, в течение которого МТ совершает одно полное колебание, т.е. МТ в момент времени t + T должна прийти в то же положение х и иметь ту же скорость , что и в момент времени t:

, .

Наименьшее значение t, при котором выполняются эти условия, определяются равенством , откуда

.

Величина обратная периоду, определяет число колебаний, совершаемых МТ за одну секунду, и ее называют частотой колебаний:

.

Соответственно параметр ω называется круговой частотой колебаний. Необходимо отметить, что частота и период колебаний МТ от начальных условий не зависят.

1.5.3. Колебательное движение мт в среде с сопротивлением при отсутствии возмущающей силы

В этом случае h = 0 и решение может быть представлено формулами (1.18) – (1.20) так как х = х₁.

При малом сопротивлении среды (n < ) в соответствии с формулой (1.18):

, (1.26)

где а и  – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.

Из уравнения (1.26) следует, что движение МТ будет колебательным. Эти колебания называют затухающими, так как за счет множителя размахи колебаний будут убывать, стремясь с течением времени к нулю.

Период затухающих колебаний

.

Графически затухающие колебания можно иллюстрировать затухающей синусоидой (рис. 7).

Чтобы установить закон затухания размахов колебания, отметим, что промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями МТ и равен периоду Т₁, т.е. . С учетом этого найдем:

.

Отсюда следует, что наибольшие отклонения МТ убывают с течением времени по закону геометрической прогрессии, знаменатель которой называется декрементом колебаний.

a

sin



O

t

x

–nt

e

a

a

-a

n

t

e



a

-

Риc.7

Соответственно величина называется

логарифмическим декрементом затухания.

В случае большого сопротивления среды (n > ) движение МТ будет неколебательным (апериодическим), затухающим – формула (1.19):

,

где – действительные отрицательные числа, а С₁ и С₂ - постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.

График этого движения МТ в зависимости от величины и знака начального отклонения х₀ и направления начальной скорости имеет форму одной из кривых, изображенных на рис. 8 (или им симметричных относительно оси абсцисс).

+

Рис. 8

В предельном случае (n = ) движение МТ также будет неколебательным (апериодическим) затухающим – формула (1.21):

,

где С₁ и С₂ – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.

Картина движения МТ будет качественно такой же, как показанная на рис. 8.

1.5.4. Колебательное движение МТ в среде без

сопротивления под действием возмущающей силы в случае, когда частота вынужденных колебаний не совпадает

с частотой собственных колебаний (р  )

В этом случае n = 0 и, следовательно,  = 0, а общее решение имеет вид:

, (1.27)

где , а и  – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.

В случае, когда частота возмущающей силы близка к частоте собственных колебаний, амплитуда вынужденных возрастает (рис. 5 при  = 0).

1.5.5. Колебательное движение МТ в среде без

сопротивления под действием возмущающей силы в случае, когда частота вынужденных колебаний совпадает с частотой собственных колебаний – явление резонанса (р = )

В этом случае из формулы (1.21) следует, что амплитуда вынужденных колебаний b стремится к бесконечности и частное решение х₂ необходимо искать в другом виде, так как полученная ранее система двух уравнений для определения b и  при n = 0 и p =  не имеет смысла. Найдем частное решение в виде:

.

Подставив это частное решение в уравнение

,

получим систему двух уравнений, решение которой имеет вид:

.

Следовательно, общее решение при р =  будет:

. (1.28)

Рис.9

В случае, когда движение МТ происходит в среде без сопротивления и частота возмущающей силы становится равной частоте собственных колебаний (p = ), амплитуда вынужденных колебаний с течением времени неограниченно возрастает (рис. 9).

Такое явление носит название резонанса (рис. 5 при  = 0).

При наличии сопротивления среды максимальное значение амплитуды вынужденных колебаний достигается при значениях (рис. 5 при   0) и также называется явлением резонанса. В случае малого сопротивления среды ( ) явление резонанса наступает при значениях вынужденной частоты р, близких к собственной частоте .

Явление резонанса играет большую роль в акустике, радиотехнике и при динамическом расчете сооружений.