Построение фазовых траекторий методом припасовывания

В большинстве случаев используемые в системах регулирования нелинейности допускают кусочно-линейную аппроксимацию. Тако-выми являются нелинейности следующих типов: звено с насыщени-ем, позиционное реле, звено с зоной нечувствительности и т. п.

В этом случае исходное уравнение (2) может быть заменено на-бором линейных дифференциальных уравнений. Фазовые траектории для соответствующих участков могут быть получены путем решения этих уравнений. Причем граничные условия предыдущего участка будут являться начальными условиями для последующего. Вся фазовая траектория, таким образом, будет состоять из отдельных кусков. Такой метод решения исходного уравнения называется методом припасовывания (или сшивания). Для иллюстрации вышесказанного рассмотрим следующую задачу.

Дана нелинейная система, структурная схема которой изображе-на на рис. 8. Требуется построить фазовый портрет системы и иссле-довать ее динамические свойства при следующих значения парамет-ров с; ; ; . При этом начальное состояние системы описывается заданными координатами точки (рис. 9).

Рис. 8. Структурная схема нелинейной системы

Поскольку имеющаяся нелинейность допускает кусочно-линей-ную аппроксимацию в диапазонах , , то описание системы может быть представлено в виде системы двух линейных дифференциальных уравнений для каждого из диапазонов.

(4)

Введем обозначения и .

После подстановки численных значений параметров получим

(5)

Для того, чтобы осуществить переход к системе координат фазо-вого пространства , необходимо исключить время (параметр )

из полученной системы (5). Для этого разделим исходные уравнения

на . В результате получим

(6)

Подставляя в левую часть уравнений (6) значения констант , строим поле изоклин (рис. 9).

Угол наклона фазовой траектории к оси абсцисс в точках пересе-чения с изоклиной равен arctg C. Эти наклоны для приведенных изоклин показаны соответствующими стрелками на том же рис. 9. Как видно из приведенного рисунка, фазовая траектория стягивается в начало координат. Следовательно, рассматриваемая система устойчива и имеет затухающий колебательный переходный процесс.

Рис. 9. Фазовый портрет нелинейной системы

Лабораторная работа исследование фазовых портретов динамических систем Цель работы

Целью данной работы является привитие студентам навыков по-строения и анализа фазовых портретов динамических систем. При выполнении работы студентам предоставляется возможность озна-комления и исследования динамики системы на конкретном объекте с использованием специального стенда.