УДК 621.078(052)

Лазарев В.Л., Кириков А.Ю., Снеговская Е.А. Исследование фазовых портретов динамических систем: Метод. указания к лабораторной работе для студентов специальности 210301 направления 220300, а также направлений подготовки бакалавров и магистров 220200, 550200 всех форм обучения: – СПб. : СПбГУНиПТ, 2007. – 20c.

Рассматриваются теоретические и практические аспекты построения и ис-следования фазовых портретов динамических систем. Дается описание лабора-торного стенда для проведения соответствующих экспериментальных исследо-ваний и приводится методика их проведения для различных вариантов заданий.

Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по специальности 220301 направления 220300 «Автоматизированные технологии и производства» всех форм обучения, а также направлений подготовки бакалавров и магистров 220200 и 550200 «Автоматизация и управление»

Рецензент

Доктор техн. наук, проф. А.Н. Носков

Рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом факультета

© Санкт-Петербургский государственный

университет низкотемпературных

и пищевых технологий, 2007

Введение

Лабораторную работу по исследованию фазовых портретов динамических систем студенты выполняют в процессе изучения курса «Теория автоматического управления».

Исследование динамических процессов в различных системах и, в частности, в системах автоматического управления наглядно может быть осуществлено при рассмотрении фазовых портретов этих систем в фазовом пространстве. Фазовое пространство представляет собой n-мерную декартовую систему координат. Чаще всего в качестве координат фазового пространства используется выходной параметр системы и его производная. Состояние системы в любой момент времени может быть охарактеризовано положением соответствующей точки в координатах фазового пространства, которая называется изображающей. С течением времени координаты изображающей точки динамической системы в фазовом пространстве будут изменяться. Это соответствует перемещению изображающей точки в пространстве по определенной кривой, называемой фазовой траекторией. Начальные условия процесса управления определяют координаты начальной точки фазовой траектории. Совокупность фазовых траекторий, соответствующих различным режимам работы системы, называется фазовым портретом системы. Фазовый портрет является информативной, объективной характеристикой динамики системы.

Если динамика системы описывается уравнением второго поряд-ка, то изображающая точка будет перемещаться в плоскости (фазовая плоскость). При более высоком порядке ( ), необходимо рассматривать n-мерное про­странство.

На рис. 1–5 приведены некоторые типовые портреты систем второго порядка на фазовой плоскости. На этих рисунках каждой кривой переходного процесса соответствует фазовая траектория на плоскости.

Затухающему колебательному процессу соответствует фазовая траекто­рия, сходящаяся к началу координат. Начало координат в этом случае называется устойчивым фокусом.

Монотонному затухающему процессу на фазовой плоскости со-ответствует фазовая траектория, сходящаяся к началу координат. На-чало координат в этом случае называется устойчивым узлом.

Расходящемуся колебательному процессу соответствует спиральная фазовая траектория, удаляющейся от начала координат. Начало координат фазовой плоскости в этом случае называется неустойчивым фокусом.

Монотонному расходящемуся процессу соответствует фазовая траектория, удаляющаяся от начала координат. Начало координат в этом случае назы­вается неустойчивым узлом.

Периодический процесс характеризуется на фазовой плоскости замкнутой кривой, называемой предельным циклом. Предельный цикл называется устойчивым, когда все близлежащие фазовые тра-ектории сходятся извне и изнутри к предельному циклу, и неустой-чивым, когда траектории расходятся от предельного цикла. В пер-вом случае в системе устанавливаются устойчивые периодические ко-лебания, называемые автоколебаниями. Во втором случае имеем не-устойчивое периодическое решение (рис. 6).

Кроме особых линий предельного цикла, в нелинейных системах возможны и другие особые линии, например, особые линии типа отрезка, характерные для систем с нелинейными звеньями, обладаю-щими зоной нечувствительности. Возможны также линии более сложного очертания.

В настоящее время имеется четкая классификация режимов функционирования систем в зависимости от вида фазовых траекто-рий. Таким образом, фазовый портрет является объективной харак-теристикой, позволяющей оценить динамику и устойчивость систе-мы в различных режимах работы.

Рассмотрим основные способы построения фазовых портретов систем. При этом целесообразно ограничиться рассмотрением систем второго порядка, как наиболее распространенных в инженерной практике.