Построение фазовых портретов методом изоклин

В частном случае рассмотрения систем второго порядка удобно за одну координату фазовой плоскости принять отклонение выходной величины от установившегося режима, а за вторую – скорость ее изменения .

Рис. 6. Фазовые траектории устойчивых и неустойчивых циклов:

а – устойчивый предельный цикл; б – неустойчивый предельный цикл; в – два предельных цикла; г – фазовый портрет, содержащий

в себе особые линии типа отрезка

Предварительно описание системы сводится к виду

(1)

где и – некоторые функции (в общем случае, нели-нейные).

Разделив первое уравнение в системе (1) на второе, получим следующее выражение, описывающее поведение системы в рассматриваемых координатах и , т. е. на фазовой плоскости:

. (2)

Если аналитическое решение уравнения (2) затруднительно, то построение фазового портрета системы можно осуществить на основании графоаналитического метода – метода изоклин. В этом случае первоначально на фазовой плоскости строится семейство кривых вида

, (3)

где – некоторая константа, принадлежащая множеству веществен-ных чисел, .

Полученное семейство кривых называется семейством изоклин. Для каждой точки отдельной кривой справедливо равенство , следовательно в каждой из этих точек касательные к фазовым траек-ториям, проходящих через них, имеют одинаковый угол наклона

φ = arctg C.

Построение фазовых траекторий показано на рис.7. Из началь-ной точки , соответствующей начальным условиям состояния рассматриваемой системы, проводятся два луча до пересечения с ближайшей изоклиной . Углы наклона этих лучей φ₀ и φ₁ равны соответственно arctg C₀ и arctg C₁. Следующая точка на соседней изоклине определяется как точка пересечения биссектрисы угла между этими лучами с изоклиной. Аналогично находится следующая точка и т.д. Очевидно, что точность построения фазовых траекторий зависит от степени насыщенности графика семейством изоклин, т. е. от шага варьирования параметра .