Расчеты гидравлических устройств с использованием уравнения бернулли Основные теоретические сведения
Уравнение Бернулли представляет собой уравнение баланса удельных энергий жидкости, записанное для двух сечений одного и того же потока.
|
Рис. 6. Поток реальной жидкости. |
На рис. 6 в сечениях 1-1 и 2-2 обозначены следующие физические величины:
Z1; Z2 – геометрические высоты центров тяжести сечений относительно горизонтальной базовой плоскости;
p1; p2 – давления;
V1; V2 – средние скорости;
Q1; Q2 – объемные расходы.
Уравнение Бернулли определяет связь между основными параметрами потока жидкости в рассматриваемых сечениях. При этом оно учитывает суммарные гидравлические потери Σhпот, которые имеют место при движении реальной жидкости от первого сечения 1-1 ко второму 2-2.
В общем случае для реальной жидкости уравнение Бернулли имеет вид:
, (4)
где: – нивелирные высоты (удельные потенциальные энергии положения) в соответствующих сечениях;
– пьезометрические высоты (удельные потенциальные энергии давления);
– гидростатические напоры (удельные потенциальные энергии);
– скоростные напоры (удельные кинетические энергии).
Скоростные напоры включают, в том числе, безразмерные коэффициенты α1 и α2, которые учитывают неравномерности распределения скоростей в сечениях.
При решении задач вместе с уравнением Бернулли, как правило, используется уравнение расхода, которое для двух сечений имеет вид:
или, с учетом, что Q = V · S, получим
. (5)
Поэтому, если в уравнение Бернулли входят несколько неизвестных скоростей в разных сечениях потока, то, используя зависимость (5) их можно свести к одной скорости». Например,
, и т. д.
Рекомендации по применению уравнения Бернулли
При применении уравнения Бернулли (2) для решения конкретной задачи рекомендуется следующая последовательность действий:
1. Выбираем два сечения, для которых будет записываться уравнение.
2. Выбираем плоскость для отсчета нивелирных высот Z1 и Z2.
3. Записываем уравнение Бернулли.
4. Проводим анализ записанного уравнения, избавляемся от «лишних» неизвестных величин и решаем его относительно искомой величины.
При выборе сечений рекомендуется выполнять следующие правила:
уравнение Бернулли записывается для двух сечений одного и того же потока жидкости;
сечения должны быть перпендикулярными к направлению потока;
уравнение записывается по потоку жидкости, т.е. сначала для первого сечения по течению жидкости, а затем для второго сечения.
В качестве сечений рекомендуется принимать:
свободную поверхность жидкости в резервуаре (баке), где V ≈ 0;
выход трубы (потока) в атмосферу, где действует рат и, следовательно, ризб = 0;
сечение, где присоединен манометр, вакуумметр или пьезометр;
неподвижный воздух вдалеке от входа в трубу, в которую происходит всасывание из атмосферы (тогда в этом сечении можно принять V ≈ 0 и ризб = 0).
В качестве плоскости для отсчета нивелирных высот удобно выбирать:
горизонтальную плоскость, проходящую через центр тяжести сечения, расположенного ниже по высоте;
нижнюю из горизонтальных плоскостей, от которой расставлены вертикальные размеры.
При решении многих задач проблемным является выбор величин безразмерных коэффициентов α1 и α2. Известно, что для ламинарного течения α = 2, а для турбулентного рекомендуется принимать α = 1. Поэтому проблема их выбора заключается в выборе режима течения.
В некоторых задачах на этот вопрос можно ответить уже в начале решения. Для этого необходимо вычислить число Рейнольдса по одной из формул:
или , (6)
где d – диаметр трубы, по которой движется поток;
ν – кинематическая вязкость жидкости.
Если полученное Re < 2300, то в потоке имеет место ламинарное течение, а если Re > 4000 – то течение турбулентное. В промежутке от Re =2300 до Re = 4000 существует переходная область. В этой области течение не устойчиво и могут использоваться методы решений, аналогичные методам расчета турбулентных течений.
Однако во многих задачах величины V и Q определяются только в результате решения. Поэтому вычислить число Рейнольдса в начале решения невозможно. В таких задачах режимом течения вначале необходимо задаться, а по окончании решения рекомендуется провести проверку правильности выбора режима. Причем, при выборе режима для маловязких жидкостей (вода, бензин, газы) рекомендуется предполагать турбулентное течение, а для вязких жидкостей (машиностроительные масла) – ламинарное.
При решении задач с применением уравнения Бернулли крайне важным является правильное определение величины суммарных гидравлических потерь Σhпот. При определении этих потерь Σhпот необходимо учитывать, что в гидравлике все потери разделяют на два вида:
– потери в местных гидравлических сопротивлениях – hм ;
– потери на трение в трубах – hтр .
Потери напора в местных гидравлических сопротивлениях вычисляются по формуле Вейсбаха
, (7)
где: V – скорость в трубопроводе, где установлено местное сопротивление;
ζ – безразмерный коэффициент потерь для данного местного сопротивления.
Как правило, коэффициент ζ задается по условию задачи. Если же он не задан, то величину ζ целесообразно выбирать с использованием справочной литературы. Для некоторых простейших и часто встречающихся сопротивлений рекомендуется принимать следующие значения (при турбулентном течении):
– внезапное расширение потока при подводе жидкости по трубопроводу к баку больших размеров ζрас = 1; |
|
Рис. 7. Внезапное расширение потока. |
– внезапное сужение потока при отводе жидкости по трубопроводу от бака больших размеров ζсуж = 0,5. |
|
Рис. 8. Внезапное сужение потока. |
Потери напора в трубах (потери на трение по длине трубы) удобно определять по формуле Дарси
, (8)
где: λ – коэффициент потерь на трение или коэффициент Дарси;
l и d – длина и диаметр трубы (трубопровода).
Величина λ задается по условиям задачи или определяется с использованием справочной литературы.
Пример 4. Жидкость вытекает из открытого резервуара в атмосферу через трубу, имеющую плавное сужение до диаметра d1 = 10 мм, а затем постепенное расширение до – d2. Течение происходит под действием напора Н = 3 м. Пренебрегая потерями энергии и считая режим течения турбулентным, определить расход жидкости, а также абсолютное давление в узком сечении трубы. Соотношение диаметров задано d2 / d1 = ; атмосферное давление соответствует hат = 750 мм рт. ст.; плотность жидкости ρ = 1000 кг/м3.
|
Решение. По условиям данной задачи требуется определение абсолютного давления. Поэтому ее решение целесообразно провести с использованием абсолютных давлений. |
Рис. 9. Иллюстрация к примеру 4. |
При решении применим предложенную последовательность действий.
1. Выбираем два сечения.
В качестве сечения 1-1 выберем свободную поверхность жидкости в резервуаре. Тогда для этого сечения скорость V1 = 0, а давление р1 = рат. В качестве сечения 2-2 выбираем сечение на выходе из трубы в атмосферу. Тогда для него давление р2 = рат.
2. Выбираем плоскость для отсчета нивелирных высот.
В качестве такой плоскости принимаем горизонтальную плоскость, проходящую через ось трубы. Эта плоскость удобна тем, что проходит через центр тяжести нижнего сечения (2-2) и от нее проставлен вертикальный размер Н.
3. Записываем уравнение Бернулли.
В соответствии с условиями задачи при записи уравнения Бернулли пренебрегаем потерями энергии (Σhпот = 0) и считаем режим течения турбулентным (α1 = α2 = 1). Тогда уравнение (4) для данного случая принимает вид:
.
4. Проводим анализ записанного уравнения, избавляемся от «лишних» неизвестных величин и решаем его относительно искомой величины.
Записанное уравнение включает только одну неизвестную – скорость в сечении 2-2. Поэтому решаем уравнение относительно этой скорости и вычисляем ее величину
.
Далее при известной скорости V2 находим искомую величину расхода с учетом, что d2 = · d1. Тогда
.
Таким образом, получен ответ на первый вопрос задачи, т.е. вычислен расход жидкости Q = 1,2 л / с.
Далее необходимо ответить на второй вопрос: найти абсолютное давление в узком сечении. Для этого необходимо вновь провести все рекомендуемые операции.
1. Выбираем два сечения.
Выбираем новое сечение 3-3 в узком месте потока, так как здесь требуется найти абсолютное давление р3. В качестве второго сечения возьмем уже ранее выбранное сечение 2-2 (в этом сечении уже определена скорость – V2).
2. Выбираем плоскость для отсчета нивелирных высот.
В качестве такой плоскости принимаем плоскость используемую ранее.
3. Записываем уравнение Бернулли.
В этом случае для сечений 3-3 и 2-2 оно принимает вид:
,
где V3 – скорость жидкости в сечении 3-3.
4. Проводим анализ записанного уравнения, избавляемся от «лишних»
неизвестных величин и решаем его относительно искомой величины.
Кроме искомого давления р3 в уравнении имеются две незаданные по условию задачи величины: скорость V3 и давление рат.
Скорость V3 можно найти с использованием уравнения (5), т.е.
.
Тогда, учитывая заданное соотношение между диаметрами d1 и d2 , получим:
.
Для определения величины рат воспользуемся зависимостью (1). Тогда
.
Далее решаем уравнение Бернулли относительно искомой величины
Таким образом, давление в узком сечении потока составляет 12,4 кПа.
Пример 5: Жидкость вытекает из бака по гибкому шлангу, а затем через брандспойт в атмосферу. Определить скорость истечения воды из брандспойта V2, если избыточное давление над поверхностью воды в напорном баке р0 = 0,45 МПа. Принять следующие геометрические размеры: длина шланга l = 20 м, его внутренний диаметр d1 = 20 мм, диаметр выходного отверстия брандспойта d2 = 10 мм, высота уровня воды в баке над отверстием брандспойта Н = 5 м.
Учесть местные гидравлические сопротивления при входе в трубу ζ1 = 0,5, в кране ζ2 = 3,5, в брандспойте ζ3 = 0,1 (ζ3 отнесен к скорости V2). Коэффициент потерь на трение принять λ = 0,018, а вязкость воды – ν = 0,01 см2 / с.
|
Рис. 10. Иллюстрация к примеру 5. |